Математический анализ. Лекция 2 Лекция Партнёр:Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Предмет:Математика Лектор:Юрий Белов Курс лекций: Математический анализ Дата записи:07.09.16 Дата публикации:29.09.16 <a href="https://www.youtube.com/embed/SYSgnNpVbyc?wmode=opaque">Embedded video for Математический анализ. Лекция 2</a> Код для блога: 1996 Другие лекции курса14 Математический анализ. Лекция 92 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 257 1 Математический анализ. Лекция 93 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 213 Математический анализ. Лекция 94 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 192 2 Математический анализ. Лекция 95 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 196 1 Математический анализ. Лекция 96 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 207 1 Математический анализ. Лекция 97 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 210 1 Математический анализ. Лекция 98 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 158 Математический анализ. Лекция 99 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 165 Математический анализ. Лекция 100 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 170 Математический анализ. Лекция 101 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 240 1 Математический анализ. Лекция 102 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 169 Математический анализ. Лекция 103 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 222 Математический анализ. Лекция 104 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 157 Математический анализ. Лекция 105 Математичеcкая лаборатория им. П.Л. Чебышева СПбГУ Юрий Белов 167 Страницы« первая ‹ предыдущая 1 2 3 4 Комментарии Viktor — 18 октября, 2021 - 03:02 46:07 Строим два множества X={x: x≤0 ∨ x>0 ∧ x^na}, их разделяет элемент c=n_√a, a>1. Доказательство существование корня a. Для любого n (x+ε)^n можно оценить сверху (x+ε)^n < x^n+p_{n−1}(x)ε, где p_{n−1}(x) − некий полином степени n−1, ε<1, p_{n−1}(x)>1 при x>0. Докажем по индукции, база (x+ε)^2 < x^2+(2x+1)ε. Пусть оценка верна для n, (x+ε)^{n+1}=(x+ε)^n(x+ε) < (x^n+p_{n−1}(x)ε)(x+ε)= =x^{n+1}+xp_{n−1}(x)ε+x^nε+p_{n−1}(x)ε^21 при x>0. Теперь найдём ε для X: (c+ε)^n < c^n+p_{n−1}(c)ε < a, ε < (a − c^n)/p_{n−1}(c), ε=1/2 (a − c^n)/p_{n−1}(c), 0< ε < 1 если 0<(a − c^n) < 1 Найдём ε для Y, для любого n (y−ε)^n=y^n(1−ε/y)^n ≥ y^n(1−nε/y)=y^n−ny^{n−1}ε по неравенству Бернулли при ε<1, y≥1. (c−ε)^n ≥ c^n−nc^{n−1}ε > a, ε < (c^n−a)/nc^{n−1}, ε = 1/2 (c^n−a)/nc^{n−1}, 0 < ε < 1 если 0 < (c^n−a) < 1 и c≥1 Если a≥1 и b≥1, то ab≥1, вообще для неотрицательных чисел из a≥c и b≥d следует ab≥cd, так как ab≥cb ∧ cb≥cd ⇒ ab≥cd. Поэтому если a^2<1, то a<1, по индукции доказывается a^n<1 ⇒ a<1, аналогично a^n>1 ⇒ a>1. То есть корень n-ой степени из единицы есть единица. Докажем единственность элемента n_√a, a≥1, предположим нашлось два корня d и b, d≠b, d^n=a, d^n−b^n=0. d^n−b^n=d^n(1−(b/d)^n)=0 ⇒ 1−(b/d)^n=0 ⇒ (b/d)^n=1 ⇒ b/d=n_√1=1 ⇒ b=d Теперь кроме деления и возведения в целую степень мы умеем извлекать корни n_√a. r1=p/q, r2=m/n, r1^r2=p^(m/n)/q^(m/n)=(n_√p/n_√q)^m. Здесь корни n_√p, n_√q существуют по доказанному, значит дробь n_√p/n_√q существует как и её m-ая степень. Страницы« первая ‹ предыдущая 1 2 3 4
