Математический анализ. Лекция 96

1:05:20 Докажем, что ||F||_p меньше или равно sup по G c нормой ||G||_q=1 интегралов ∫F·Gdθ. p-ая степень лп нормы равна ||F||_p=||F||_p^p/||F||_p^(p−1)=∫|F|^p dθ / ||F||_p^(p−1)=∫F·sign(F)|F|^(p−1)/C dθ, обозначим C=||F||_p^(p−1), G=sign(F)|F|^(p−1)/C, найдём q-норму G, ||G||_q=q_√∫|F|^(pq−q)/C^q dθ=( так как pq=p+q )=q_√∫|F|^pdθ/C=||F||_p^(p/q)/||F||_p^(p−1)=||F||_p^(p/q−p+1)=1. Таким образом нашли некоторое G единичной нормы, что интеграл ∫F·Gdθ оказался равен p-норме F, следовательно супремум будет больше или равен чем ||F||_p.
В обратную сторону. Оценим интеграл через неравенство Гёльдера, меняя G на −G можно добиться неотрицательности интеграла.
0≤∫F·Gdθ=|∫F·Gdθ|≤p_√∫|F|^pdθ·q_√∫|G|^qdθ=||F||_p.
Следовательно верно равенство ||F||_p=sup ∫F·Gdθ.
1:13:20 Оценка для меры ||Fr||=∫|U(r·exp(iθ))|dθ=∫d|μ_r|(θ)=sup_{max|f(θ)|≤1}∫f(θ)dμ_r(θ)=sup_{max|f(θ)|≤1}∫f(θ)U(r·exp(iθ))dθ=sup_{max|f(θ)|≤1}∫f(θ)(∫Pr(θ−t)dμ(t))dθ=sup_{max|f(θ)|≤1}∫∫f(θ+t)Pr(θ)dθdμ(t)≤sup_{max|f(θ)|≤1}∫∫|f(θ+t)|·Pr(θ)dθd|μ|(t)≤∫(∫Pr(θ)dθ)d|μ|(t)=∫d|μ|(t)=Var(μ) < +∞