Математический анализ. Лекция 94

48:40 f – аналитическая в G, J⊂∂G и часть границы J такая, что существует конформное отображение φ, переводящее J на отрезок действительной оси. φ(J)=T⊂R. А для I=f(J) существует конформное отображение ψ, переводящее I на отрезок оси R, ψ(I)=P⊂R. Тогда f можно аналитически продолжить в G*={z : φ^-1( сопр_φ(z) ) ∈ G}.

Обозначим Ξ=φ(G) и Ζ=ψ( f(G) ). Рассмотрим конформное отображение F: Ξ → Ζ, ζ=F(ξ)=ψ( f( φ^-1(ξ) ) ). Отображение F переводит область Ξ комплексной плоскости, лежащую например в верхней полуплоскости рядом с отрезком T⊂∂Ξ на действительной оси, в область Ζ, тоже лежащей в основном на одной полуплоскости рядом с отрезком P⊂R. Функция F(ξ) принимает действительные значения на отрезке ξ∈T, поэтому она может быть аналитически продолжена на нижнюю полуплоскость Ξ* по формуле F*(ξ)=сопр_F( сопр_ξ ). Обозначим F`=F∪F*, очевидно F`(Ξ*)⊂Ζ*, где Ζ* – сопряжённая для Ζ.
Функция f`(z)=ψ^-1( F`(φ(z)) ) определена для ∀z ∈ G∪G* и G*=φ^-1(Ξ*).

48:40 f – аналитическая в G, J⊂∂G и часть границы J такая, что существует конформное отображение φ, переводящее J на отрезок действительной оси. φ(J)=T⊂R. А для I=f(J) существует конформное отображение ψ, переводящее I на отрезок оси R, ψ(I)=P⊂R. Тогда f можно аналитически продолжить в G*=φ^-1( сопр_φ(H) ), где H={z : z ∈ G и ψ^-1( сопр_ψ(f(z)) )≠∅}.

Обозначим Ξ=φ(G) и Ζ=ψ( f(G) ). Рассмотрим отображение F: Ξ → Ζ, ζ=F(ξ)=ψ( f( φ^-1(ξ) ) ). Отображение F переводит область Ξ комплексной плоскости, лежащую например в верхней полуплоскости рядом с отрезком T⊂∂Ξ на действительной оси, в область Ζ, тоже лежащей в основном на одной полуплоскости рядом с отрезком P⊂R. Функция F(ξ) принимает действительные значения на отрезке ξ∈T, поэтому она может быть аналитически продолжена на нижнюю полуплоскость Ξ* по формуле F*(ξ)=сопр_F( сопр_ξ ). Обозначим F`=F∪F*, очевидно F`(Ξ*)⊂Ζ*, где Ζ* – сопряжённая для Ζ.
Функция f`(z)=ψ^-1( F`(φ(z)) ) определена для ∀z ∈ G∪G*, G*=φ^-1(Ξ*)⋂f^-1(сопр_(ψψ^-1(Ζ*))).
Отображения φ^-1 и ψ^-1 могут быть определены не на всей комплексной плоскости, поэтому возможен случай G*=∅ если φ^-1(Ξ*)=∅ или ψ^-1(Ζ*)=∅.
Пусть функция f принимает действительные значения на границе J, тогда в качестве ψ=Id можно взять тождественное отображение и G*=φ^-1(Ξ*)=φ^-1( сопр_φ(G) ), f`(z)=F`(φ(z)).
Пусть функция f на граничной дуге единичного круга принимает значения из единичной же окружности, тогда ψ(z)=φ(z)=i(z+1)/(1−z) переводят круг в верхнюю полуплоскость, а граничную дугу на вещественную прямую, ψ^-1(z)=φ^-1(z)=(z−i)/(z+i). Можно проверить, что ψ^-1(сопр_ψ(z))=φ^-1(сопр_φ(z))=1/сопр_z.
Тогда сопряжённое отображение есть то что и было найдено, оно аналитичное как композиция аналитической F* и конформных φ и ψ^-1.
f*(z)=ψ^-1( F*(φ(z))=ψ^-1( сопр_F(сопр_φ(z))=ψ^-1( сопр_ψ( f( φ^-1(сопр_φ(z)))))=ψ^-1( сопр_ψ( f(1/сопр_z) ) )=1/сопр_f(1/сопр_z).
При φ=Id продолжение такое f*(z)=1/сопр_f(сопр_z), при ψ=Id − такое f*(z)=сопр_f(1/сопр_z). Вообще если f на дуге какой-либо окружности принимает значения тоже из дуги, то найдутся дробно линейные преобразования φ и ψ, которые переводят границы окружностей в действительную прямую и значит возможно аналитическое продолжение f через дугу в симметричную область G*.