Математический анализ. Лекция 94

48:40 f – аналитическая в G, J⊂∂G и часть границы J такая, что существует конформное отображение φ, переводящее J на отрезок действительной оси. φ(J)=T⊂R. А для I=f(J) существует конформное отображение ψ, переводящее I на отрезок оси R, ψ(I)=P⊂R. Тогда f можно аналитически продолжить в G*={z : φ^-1( сопр_φ(z) ) ∈ G}.

Обозначим Ξ=φ(G) и Ζ=ψ( f(G) ). Рассмотрим конформное отображение F: Ξ → Ζ, ζ=F(ξ)=ψ( f( φ^-1(ξ) ) ). Отображение F переводит область Ξ комплексной плоскости, лежащую например в верхней полуплоскости рядом с отрезком T⊂∂Ξ на действительной оси, в область Ζ, тоже лежащей в основном на одной полуплоскости рядом с отрезком P⊂R. Функция F(ξ) принимает действительные значения на отрезке ξ∈T, поэтому она может быть аналитически продолжена на нижнюю полуплоскость Ξ* по формуле F*(ξ)=сопр_F( сопр_ξ ). Обозначим F`=F∪F*, очевидно F`(Ξ*)⊂Ζ*, где Ζ* – сопряжённая для Ζ.
Функция f`(z)=ψ^-1( F`(φ(z)) ) определена для ∀z ∈ G∪G* и G*=φ^-1(Ξ*).