Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 14

42:00 Пусть f(z)=u(z)+iv(z) аналитична в круге |z−z0|

42:00 Пусть f(z)=u(z)+iv(z) аналитична в круге |z−z0|

42:00 Пусть f(z)=u(z)+iv(z) аналитична в круге |z−z0|<R и непрерывна на его замыкании, контур окружность γ={t: |t−z0|=R}, f(z)=1/2πi γ_∫f(t)/t−z dt. Оказывается комплексно сопряжённое f^(z0)=1/2πi γ_∫f^(t)/t−z dt. Докажем, 1/2πi γ_∫f^(t)/t−z dt=1/2πi ( γ_∫f(t)/t^−z^ dt^ )^=1/2πi ( γ_∫f(t)/t^−z^ dt^/dt dt )^= γ(φ)=Rexp(iφ), φ∈[0, 2π], dt=iRexp(iφ)dφ=i(t−z0)dφ, dt^=−iRexp(−iφ)dφ=−iR^2/(t−z0)dφ ⇒ dt^/dt=−R^2/(t−z0)^2 =1/2πi ( −γ_∫f(t)/(t^−z^) R^2/(t−z0)^2 dt )^=1/2πi ( −γ_∫f(t)(t^−z0^)/((t^−z^)(t−z0)) dt )^= =1/2πi ( −γ_∫f(t)(t^−z^+z^−z0^)/((t^−z^)(t−z0)) dt )^= =( 1/2πi γ_∫f(t)/(t−z0) dt )^+( 1/2πi γ_∫f(t)(z^−z0^)/((t^−z^)(t−z0)) dt )^= =f^(z0)+( 1/2πi γ_∫f(t)(z^−z0^)/((t^−z0^+z0^−z^)(t−z0)) dt )^= =f^(z0)+( 1/2πi γ_∫f(t)(z^−z0^)/(R^2+(z0^−z^)(t−z0)) dt )^= =f^(z0)+( 1/2πi γ_∫f(t)/(R^2/(z^−z0^)−(t−z0)) dt )^=f^(z0)+( −1/2πi γ_∫f(t)/(t−(z0+R^2/(z^−z0^))) dt )^ Точка z*=z0+R^2/(z−z0)^ находится за пределами круга, она симметрична к z относительно окружности, (z*−z0)(z−z0)^=R^2, поэтому 1/2πi γ_∫f(t)/(t−z*) dt=0. ⇒ f^(z0)=1/2πi γ_∫f^(t)/t−z dt ⇒ f(z)+f^(z0)=1/πi γ_∫u(t)/t−z dt, u(z0)=1/2πi γ_∫u(t)/t−z0 dt, f(z)−f^(z0)=1/π γ_∫v(t)/t−z dt, v(z0)=1/2πi γ_∫v(t)/t−z0 dt ⇒ f(z)=1/2πi γ_∫2u(t)/t−z dt−u(z0)+i Im f(z0)=1/2πi γ_∫u(t)(t−2z0+z)/((t−z)(t−z0)) dt+i Im f(z0) ⇒ f(z)=1/2π γ_∫2v(t)/t−z dt+iv(z0)+Re f(z0)=1/2π γ_∫v(t)(t−2z0+z)/((t−z)(t−z0)) dt+Re f(z0) Пусть z0=0 и R=1, ⇒ f(z)=1/2πi (|t|=1)_∫u(t)(t+z)/(t−z) dt/t+i Im f(0), выражение (t+z)/(t−z) называется ядром Шварца. f(ρexp(iφ0))=1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))(exp(iφ)+ρexp(iφ0))/(exp(iφ)−ρexp(iφ0)) dφ+i Im f(0) Формула Пуассона u(ρexp(iφ0))=1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))Re(exp(iφ)+ρexp(iφ0))/(exp(iφ)−ρexp(iφ0)) dφ= =1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))Re(1+ρexp(−i(φ−φ0)))/(1−ρexp(−i(φ−φ0))) dφ= =1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))(1−ρ^2)/(1+ρ^2−2ρcos(φ−φ0)) dφ Мы можем восстанавливать f(z) внутри круга по мнимой или действительной части, заданной только на окружности, значит интегрирование с ядром Шварца позволяет восстановить мнимую часть зная действительную и наоборот.

42:00 Пусть f(z)=u(z)+iv(z) аналитична в круге |z−z0|<R и непрерывна на его замыкании, контур окружность γ={t: |t−z0|=R}, f(z)=1/2πi γ_∫f(t)/t−z dt. Оказывается комплексно сопряжённое f^(z0)=1/2πi γ_∫f^(t)/t−z dt. Докажем, 1/2πi γ_∫f^(t)/t−z dt=1/2πi ( γ_∫f(t)/t^−z^ dt^ )^=1/2πi ( γ_∫f(t)/t^−z^ dt^/dt dt )^= γ(φ)=Rexp(iφ), φ∈[0, 2π], dt=iRexp(iφ)dφ=i(t−z0)dφ, dt^=−iRexp(−iφ)dφ=−iR^2/(t−z0)dφ ⇒ dt^/dt=−R^2/(t−z0)^2 =1/2πi ( −γ_∫f(t)/(t^−z^) R^2/(t−z0)^2 dt )^=1/2πi ( −γ_∫f(t)(t^−z0^)/((t^−z^)(t−z0)) dt )^= =1/2πi ( −γ_∫f(t)(t^−z^+z^−z0^)/((t^−z^)(t−z0)) dt )^= =( 1/2πi γ_∫f(t)/(t−z0) dt )^+( 1/2πi γ_∫f(t)(z^−z0^)/((t^−z^)(t−z0)) dt )^= =f^(z0)+( 1/2πi γ_∫f(t)(z^−z0^)/((t^−z0^+z0^−z^)(t−z0)) dt )^= =f^(z0)+( 1/2πi γ_∫f(t)(z^−z0^)/(R^2+(z0^−z^)(t−z0)) dt )^= =f^(z0)+( 1/2πi γ_∫f(t)/(R^2/(z^−z0^)−(t−z0)) dt )^=f^(z0)+( −1/2πi γ_∫f(t)/(t−(z0+R^2/(z^−z0^))) dt )^ Точка z*=z0+R^2/(z−z0)^ находится за пределами круга, она симметрична к z относительно окружности, (z*−z0)(z−z0)^=R^2, поэтому 1/2πi γ_∫f(t)/(t−z*) dt=0. ⇒ f^(z0)=1/2πi γ_∫f^(t)/t−z dt ⇒ f(z)+f^(z0)=1/πi γ_∫u(t)/t−z dt, u(z0)=1/2πi γ_∫u(t)/t−z0 dt, f(z)−f^(z0)=1/π γ_∫v(t)/t−z dt, v(z0)=1/2πi γ_∫v(t)/t−z0 dt ⇒ f(z)=1/2πi γ_∫2u(t)/t−z dt−u(z0)+i Im f(z0)=1/2πi γ_∫u(t)(t−2z0+z)/((t−z)(t−z0)) dt+i Im f(z0) ⇒ f(z)=1/2π γ_∫2v(t)/t−z dt+iv(z0)+Re f(z0)=1/2π γ_∫v(t)(t−2z0+z)/((t−z)(t−z0)) dt+Re f(z0) Пусть z0=0 и R=1, ⇒ f(z)=1/2πi (|t|=1)_∫u(t)(t+z)/(t−z) dt/t+i Im f(0), выражение (t+z)/(t−z) называется ядром Шварца. f(ρexp(iφ0))=1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))(exp(iφ)+ρexp(iφ0))/(exp(iφ)−ρexp(iφ0)) dφ+i Im f(0) Формула Пуассона u(ρexp(iφ0))=1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))Re(exp(iφ)+ρexp(iφ0))/(exp(iφ)−ρexp(iφ0)) dφ= =1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))Re(1+ρexp(−i(φ−φ0)))/(1−ρexp(−i(φ−φ0))) dφ= =1/2π (0, 2π)_∫u(exp(iφ))(1−ρ^2)/(1+ρ^2−2ρcos(φ−φ0)) dφ Мы можем восстанавливать f(z) внутри круга по мнимой или действительной части, заданной только на окружности, значит интегрирование с ядром Шварца позволяет восстановить мнимую часть зная действительную и наоборот.

1:04:20 Докажем сначала, что T_∫f(z)dz=0 и более общий случай звёздной области Ω, когда граница есть замкнутый кусочно гладкий контур γ с параметризацией γ(φ)=ρ(φ)exp(iφ), φ∈[0, 2π]. Имеется естественная гомотопия замкнутых путей γ_λ=γ(λ,φ)=λρ(φ)exp(iφ), λ∈[0, 1]. γ_λ_∫f(ζ)dζ=0 для λ<1, так как f(z) аналитична в односвязной области.
γ_λ_∫f(ζ)dζ= замена переменной ζ=λz =λγ_∫f(λz)dz=0 ⇒ γ_∫f(λz)dz=0 при λ<1,
Обозначим r=max ρ(φ), |z−λz|=(1−λ)|z|≤(1−λ)r ⇒ |z−λz|<δ как только λ>1−δ/r.
Функция f(z) непрерывна на компакте, следовательно равномерно непрерывна на нём.
Для ∀z∈ClΩ ∀ε>0 ∃δ>0, что |f(z)−f(λz)|<ε выполняется при ∀λ>1−δ/r.
γ_∫f(z)dz−0=γ_∫f(z)dz−γ_∫f(λz)dz=γ_∫f(z)−f(λz)dz ⇒ |γ_∫f(z)dz|≤γ_∫|f(z)−f(λz)| |dz|≤εLength(γ) ⇒ γ_∫f(z)dz=0.
Теперь в качестве f(z) возьмём функцию f(z)−f(a)/z−a, она непрерывна на ∂Ω и аналитична везде в области Ω кроме точки a, где однако непрерывна lim f(z)−f(a)/z−a=f'(a), z→a, поэтому по следствию теоремы Морера тоже аналитична.
γ_∫f(z)−f(a)/z−a dz=γ_∫f(z)/z−a dz−f(a)γ_∫dz/z−a=0 ⇒ γ_∫f(z)/z−a dz=f(a)γ_∫dz/z−a=2πi f(a).

1:04:20 Докажем сначала, что T_∫f(z)dz=0 и более общий случай звёздной области Ω, когда граница есть замкнутый кусочно гладкий контур γ с параметризацией γ(φ)=ρ(φ)exp(iφ), φ∈[0, 2π]. Имеется естественная гомотопия замкнутых путей γ_λ=γ(λ,φ)=λρ(φ)exp(iφ), λ∈[0, 1]. γ_λ_∫f(ζ)dζ=0 для λ<1, так как f(z) аналитична в односвязной области.
γ_λ_∫f(ζ)dζ= замена переменной ζ=λz =λγ_∫f(λz)dz=0 ⇒ γ_∫f(λz)dz=0 при λ<1,
Обозначим r=max ρ(φ), |z−λz|=(1−λ)|z|≤(1−λ)r ⇒ |z−λz|<δ как только λ>1−δ/r.
Функция f(z) непрерывна на компакте, следовательно равномерно непрерывна на нём.
Для ∀z∈ClΩ ∀ε>0 ∃δ>0, что |f(z)−f(λz)|<ε выполняется при ∀λ>1−δ/r.
γ_∫f(z)dz−0=γ_∫f(z)dz−γ_∫f(λz)dz=γ_∫f(z)−f(λz)dz ⇒ |γ_∫f(z)dz|≤γ_∫|f(z)−f(λz)| |dz|≤εLength(γ) ⇒ γ_∫f(z)dz=0.
Теперь в качестве f(z) возьмём функцию f(z)−f(a)/z−a, она непрерывна на ∂Ω и аналитична везде в области Ω кроме точки a, где однако непрерывна lim f(z)−f(a)/z−a=f'(a), z→a, поэтому по следствию теоремы Морера тоже аналитична.
γ_∫f(z)−f(a)/z−a dz=γ_∫f(z)/z−a dz−f(a)γ_∫dz/z−a=0 ⇒ γ_∫f(z)/z−a dz=f(a)γ_∫dz/z−a=2πi f(a).

57:25 Опечатка, должно быть ...=Грин=∫i∂f/∂x−∂f/∂y dλ_2, интеграл равен нулю, так как из условий Коши-Римана ∂f/∂x=−i∂f/∂y.
1:04:20 Докажем сначала, что T_∫f(z)dz=0 и более общий случай звёздной области Ω, когда граница есть замкнутый кусочно гладкий контур γ с параметризацией γ(φ)=ρ(φ)exp(iφ), φ∈[0, 2π]. Имеется естественная гомотопия замкнутых путей γ_λ=γ(λ,φ)=λρ(φ)exp(iφ), λ∈[0, 1]. γ_λ_∫f(ζ)dζ=0 для λ<1, так как f(z) аналитична в односвязной области.
γ_λ_∫f(ζ)dζ= замена переменной ζ=λz =λγ_∫f(λz)dz=0 ⇒ γ_∫f(λz)dz=0 при λ<1,
Обозначим r=max ρ(φ), |z−λz|=(1−λ)|z|≤(1−λ)r ⇒ |z−λz|<δ как только λ>1−δ/r.
Функция f(z) непрерывна на компакте, следовательно равномерно непрерывна на нём.
Для ∀z∈ClΩ ∀ε>0 ∃δ>0, что |f(z)−f(λz)|<ε выполняется при ∀λ>1−δ/r.
γ_∫f(z)dz−0=γ_∫f(z)dz−γ_∫f(λz)dz=γ_∫f(z)−f(λz)dz ⇒ |γ_∫f(z)dz|≤γ_∫|f(z)−f(λz)| |dz|≤εLength(γ) ⇒ γ_∫f(z)dz=0.
Теперь в качестве f(z) возьмём функцию f(z)−f(a)/z−a, она непрерывна на ∂Ω и аналитична везде в области Ω кроме точки a, где однако непрерывна lim f(z)−f(a)/z−a=f'(a), z→a, поэтому по следствию теоремы Морера тоже аналитична.
γ_∫f(z)−f(a)/z−a dz=γ_∫f(z)/z−a dz−f(a)γ_∫dz/z−a=0 ⇒ γ_∫f(z)/z−a dz=f(a)γ_∫dz/z−a=2πi f(a).
Формула f(a)=1/2πi γ_∫f(z)/z−a dz также справедлива для ограниченной односвязной области с кусочно гладкой границей, которую можно разрезать на конечное число частей со звёздными краями. По теореме Римана о конформной эквивалентности односвязных областей, её ещё не было, существует однолистное аналитическое отображение единичного диска на область g: D→Ω, причём согласно теореме Каратеодори о соответствии границ g(ζ) на окружность T может быть продолжена g: ClD→ClΩ с сохранением непрерывности. На окружности T g'(ζ) можно попробовать доопределить как g'(ζ)=lim g(ζ)−g(ζ0)/ζ−ζ0, при ζ→ζ0, ζ, ζ0∈T, но нет уверенности, что производная после этого окажется непрерывной вплоть до границы, а рядом с точками излома гладких кусков контура производная может вообще оказаться неограниченной. Поэтому предположим, что
∂Ω − аналитическая жорданова кривая, по теореме Шварца о соответствии границ g(ζ) продолжается до аналитической на ClD.
∂Ω_∫f(z)dz= делаем замену z=g(ζ) =T_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=0, так как функция f(g(ζ))g'(ζ) аналитичная на D и непрерывная на ClD. Теорема Шварца работает и локально. Пусть граница ∂Ω кусочно аналитическая. Вырежем из контура ∂Ω негладкие точки излома, чтобы общая длина выброшенных кусков γ_ε не превышала ε, на участке T_ε=g^−1(∂Ω\γ_ε) производная g'(ζ) непрерывна и не равна нулю. Вообще g(ζ) имеет аналитическое продолжение через дуги T_ε. Замкнём T_ε в цельный контур по дугам окружностей радиуса δ с центрами в прообразах угловых точек, получится область D_ε, ∂D_ε=T_ε∪Δ_ε.
∂D_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=0, так как функция f(g(ζ))g'(ζ) аналитична на ClD_ε и контур ∂D_ε замкнут
∂D_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=T_ε∪Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=T_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ+Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ,
⇒ T_ε_∫f(g(λζ))g'(λζ)dζ=−Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ
| ∂Ω_∫f(z)dz |=| ∂Ω\γ_ε_∫f(z)dz+γ_ε_∫f(z)dz |≤ обозначим max|f(z)|=M z∈ClΩ, делаем замену z=g(ζ) ≤
≤ | T_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ |+M Length(γ_ε)=εM+| Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ |
Докажем, что Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=o(1), действительно в каждой угловой точке ζ'
(|ζ−ζ'|=δ ∧ ζ1, ζ0∈∂D_ε)_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=f(g(ζ1))−f(g(ζ0)), | (|ζ−ζ'|=δ⋂∂D_ε)_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ |≤|f(g(ζ1))−f(g(ζ0))|
Точки ζ1, ζ0 из δ окрестности ζ', |ζk−ζ0|=|ζk−ζ1|=δ, функция f(g(ζ)) непрерывна в точке ζ', следовательно
(|ζ−ζ'|=δ⋂∂D_ε)_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ→0 при δ→0,
Утверждение доказано, так как точек ζ' конечное число и δ→0 при ε→0.
Окончательно ∂Ω_∫f(z)dz=O(ε)+o(1) ⇒ ∂Ω_∫f(z)dz=0
Можно пойти дальше и предположить, что область ограничена кусочно гладкими кривыми, но гарантировать непрерывную продолжаемость производной мы можем только для аргумента arg g'(ζ) по теореме Линделёфа. Однако по теореме Келлога g'(ζ) будет таки непрерывной вплоть до граничных точек гладкости, если кроме самой гладкости ещё угол θ(s) наклона касательной к ∂Ω как функции длины дуги удовлетворяет условию Гёльдера, т. е. для ∀s1,s2>0 |θ(s1)−θ(s2)|≤k |s1−s2|^α, k>0, α∈(0, 1]. Такие дуги называются дугами Ляпунова. А можно произвольную простую гладкую кривую разбить на объединение конечного числа дуг Ляпунова? Доказательство аналогичное кусочной аналитичности, только теперь g(ζ) и производная g'(ζ) на ClD_ε не обязательно аналитичны, но непрерывны, поэтому ∂D_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=0 по причине звёздности контура интегрирования. Общая идея такая, доказываем, что на звёздном контуре интеграл ноль, произвольную кусочно гладкую границу можно попробовать поразрезать на звёздные участки, а можно конформно отобразить область Ω в круг D и там получить звёздный контур.

57:25 Опечатка, должно быть ...=Грин=∫i∂f/∂x−∂f/∂y dλ_2, интеграл равен нулю, так как из условий Коши-Римана ∂f/∂x=−i∂f/∂y.
1:04:20 Докажем сначала, что T_∫f(z)dz=0 и более общий случай звёздной области Ω, когда граница есть замкнутый кусочно гладкий контур γ с параметризацией γ(φ)=ρ(φ)exp(iφ), φ∈[0, 2π]. Имеется естественная гомотопия замкнутых путей γ_λ=γ(λ,φ)=λρ(φ)exp(iφ), λ∈[0, 1]. γ_λ_∫f(ζ)dζ=0 для λ<1, так как f(z) аналитична в односвязной области.
γ_λ_∫f(ζ)dζ= замена переменной ζ=λz =λγ_∫f(λz)dz=0 ⇒ γ_∫f(λz)dz=0 при λ<1,
Обозначим r=max ρ(φ), |z−λz|=(1−λ)|z|≤(1−λ)r ⇒ |z−λz|<δ как только λ>1−δ/r.
Функция f(z) непрерывна на компакте, следовательно равномерно непрерывна на нём.
Для ∀z∈ClΩ ∀ε>0 ∃δ>0, что |f(z)−f(λz)|<ε выполняется при ∀λ>1−δ/r.
γ_∫f(z)dz−0=γ_∫f(z)dz−γ_∫f(λz)dz=γ_∫f(z)−f(λz)dz ⇒ |γ_∫f(z)dz|≤γ_∫|f(z)−f(λz)| |dz|≤εLength(γ) ⇒ γ_∫f(z)dz=0.
Теперь в качестве f(z) возьмём функцию f(z)−f(a)/z−a, она непрерывна на ∂Ω и аналитична везде в области Ω кроме точки a, где однако непрерывна lim f(z)−f(a)/z−a=f'(a), z→a, поэтому по следствию теоремы Морера тоже аналитична.
γ_∫f(z)−f(a)/z−a dz=γ_∫f(z)/z−a dz−f(a)γ_∫dz/z−a=0 ⇒ γ_∫f(z)/z−a dz=f(a)γ_∫dz/z−a=2πi f(a).
Формула f(a)=1/2πi γ_∫f(z)/z−a dz также справедлива для ограниченной односвязной области с кусочно гладкой границей, которую можно разрезать на конечное число частей со звёздными краями. По теореме Римана о конформной эквивалентности односвязных областей, её ещё не было, существует однолистное аналитическое отображение единичного диска на область g: D→Ω, причём согласно теореме Каратеодори о соответствии границ g(ζ) на окружность T может быть продолжена g: ClD→ClΩ с сохранением непрерывности. На окружности T g'(ζ) можно попробовать доопределить как g'(ζ)=lim g(ζ)−g(ζ0)/ζ−ζ0, при ζ→ζ0, ζ, ζ0∈T, но нет уверенности, что производная после этого окажется непрерывной вплоть до границы, а рядом с точками излома гладких кусков контура производная может вообще оказаться неограниченной. Поэтому предположим, что
∂Ω − аналитическая жорданова кривая, по теореме Шварца о соответствии границ g(ζ) продолжается до аналитической на ClD.
∂Ω_∫f(z)dz= делаем замену z=g(ζ) =T_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=0, так как функция f(g(ζ))g'(ζ) аналитичная на D и непрерывная на ClD. Теорема Шварца работает и локально. Пусть граница ∂Ω кусочно аналитическая. Вырежем из контура ∂Ω негладкие точки излома, чтобы общая длина выброшенных кусков γ_ε не превышала ε, на участке T_ε=g^−1(∂Ω\γ_ε) производная g'(ζ) непрерывна и не равна нулю. Вообще g(ζ) имеет аналитическое продолжение через дуги T_ε. Замкнём T_ε в цельный контур по дугам окружностей радиуса δ с центрами в прообразах угловых точек, получится область D_ε, ∂D_ε=T_ε∪Δ_ε.
∂D_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=0, так как функция f(g(ζ))g'(ζ) аналитична на ClD_ε и контур ∂D_ε замкнут
∂D_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=T_ε∪Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=T_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ+Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ,
⇒ T_ε_∫f(g(λζ))g'(λζ)dζ=−Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ
| ∂Ω_∫f(z)dz |=| ∂Ω\γ_ε_∫f(z)dz+γ_ε_∫f(z)dz |≤ обозначим max|f(z)|=M z∈ClΩ, делаем замену z=g(ζ) ≤
≤ | T_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ |+M Length(γ_ε)=εM+| Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ |
Докажем, что Δ_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=o(1), действительно в каждой угловой точке ζ'
(|ζ−ζ'|=δ ∧ ζ1, ζ0∈∂D_ε)_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=f(g(ζ1))−f(g(ζ0)), | (|ζ−ζ'|=δ⋂∂D_ε)_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ |≤|f(g(ζ1))−f(g(ζ0))|
Точки ζ1, ζ0 из δ окрестности ζ', |ζk−ζ0|=|ζk−ζ1|=δ, функция f(g(ζ)) непрерывна в точке ζ', следовательно
(|ζ−ζ'|=δ⋂∂D_ε)_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ→0 при δ→0,
Утверждение доказано, так как точек ζ' конечное число и δ→0 при ε→0.
Окончательно ∂Ω_∫f(z)dz=O(ε)+o(1) ⇒ ∂Ω_∫f(z)dz=0
Можно пойти дальше и предположить, что область ограничена кусочно гладкими кривыми, но гарантировать непрерывную продолжаемость производной мы можем только для аргумента arg g'(ζ) по теореме Линделёфа. Однако по теореме Келлога g'(ζ) будет таки непрерывной вплоть до граничных точек гладкости, если кроме самой гладкости ещё угол θ(s) наклона касательной к ∂Ω как функции длины дуги удовлетворяет условию Гёльдера, т. е. для ∀s1,s2>0 |θ(s1)−θ(s2)|≤k |s1−s2|^α, k>0, α∈(0, 1]. Такие дуги называются дугами Ляпунова. А можно произвольную простую гладкую кривую разбить на объединение конечного числа дуг Ляпунова? Доказательство аналогичное кусочной аналитичности, только теперь g(ζ) и производная g'(ζ) на ClD_ε не обязательно аналитичны, но непрерывны, поэтому ∂D_ε_∫f(g(ζ))g'(ζ)dζ=0 по причине звёздности контура интегрирования. Общая идея такая, доказываем, что на звёздном контуре интеграл ноль, произвольную кусочно гладкую границу можно попробовать поразрезать на звёздные участки, а можно конформно отобразить область Ω в круг D и там получить звёздный контур.