Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 10

4:40 Интегрируем по частям. Либо на прошлых лекциях была теорема об интегрировании по частям для интегралов Лебега, либо функция f(x, t) считается непрерывной по x.
1:55:00 Это хитрая тфкп-шная вещь, связанная с выражением интегралов через вычеты комплексных функций в полюсах. Есть такая формула γ_∫f(z)dz=∑ 2πi Res_{z=ai} f(z), интеграл по замкнутому контуру γ функции f(z), аналитической везде в области, кроме конечного числа полюсов, равен сумме вычетов в этих точках с множителем 2πi. f(z)=z^p−1/1+z Полюс тут один, z=−1, Res_{z=−1} f(z)=(−1)^p−1=exp(iπ(p−1)).
Возьмём контур γ=C−c+[r, R]−[r exp(i2π), R exp(i2π)], где C, c − большая и маленькая окружности с радиусами R, r и часть вещественной прямой [r, R]. Маленькая окружность c вырезает ноль, в котором f(z) имеет логарифмическую точку ветвления, так как z^p−1=exp( (p−1)log(z) ).
2πi exp(iπ(p−1))=γ_∫f(z)dz=C_∫f(z)dz−c_∫f(z)dz+[r, R]_∫f(x)dx−[r exp(i2π), R exp(i2π)]_∫f(x)dx
Можно доказать, что lim C_∫f(z)dz = lim c_∫f(z)dz=0 при r → 0, R → +∞.
При больших R функция f(z) ведёт себя как z^p−2, при замене dz на iR exp(iRφ)dφ под интегралом модуль функции будет равен R^p−1=1/R^1−p, что стремиться к 0 при , R → +∞.
При маленьких r функция, f(z) ведёт себя как z^p−1, при замене dz модуль будет равен r^p, что стремиться к 0 при r → 0.
2πi exp(i(p−1)π)=[0, +∞]_∫x^p−1/(1+x)dx−exp(i2π(p−1))[0, +∞]_∫x^p−1/(1+x)dx
2πi exp(i(p−1)π)=( 1 − exp(i2π(p−1)) )[0, +∞]_∫x^p−1/(1+x)dx
[0, +∞]_∫x^p−1/(1+x)dx=
=2πi exp(iπ(p−1))/(1−exp(i2π(p−1)))=2πi/(exp(−iπ(p−1))−exp(iπ(p−1)))=−π/sin(π(p−1))=π/sin(πp)

I really appreciate your great post play snake. You have genuinely shared a blog post that is both educational and engaging with everyone.