Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 2

1:33:15 Возьмём например борелевскую сигма алгебру B подмножеств из отрезка X=[−1,1] с их обычной длиной, но будем считать, что если в замыкание множества A из сигма алгебры B попадает ноль, то его длина равна μ(A)=+∞, когда 0∈Cl A. В этом случае следствие выполняется, потому что если какое-то μ(A_n) < +∞, то A_k ⊂[−1,1]\(0−ε, 0+ε), при некотором ε>0 и всех k ≥ n, а для индуцированной сигмы алгебры из Y=[−1,0−ε]∪[0+ε,1] обычная длина без модификации в точке нуль является просто мерой и для неё выполняется непрерывность сверху. Но модифицированная длина на всём отрезке [−1,1] мерой не является, так как не выполняется 3) условие из теоремы для последовательности таких множеств An=(0, 1/n], это монотонно убывающая последовательность с пустым пересечением, но lim μ(An)=+∞, n→+∞.

40:30 Пример алгебры c объёмом, не мерой, все подмножества {tk}, такие что они сами или их дополнения конечны, объём μ(A)=∑wk по tk∈A, если A − конечное множество и μ(A)=∑wk+ε, по tk∉X\A, ε>0, если A − бесконечно. Пример сигма алгербы с объёмом, не мерой, все всевозможные подмножества {tk}⊂2^X, μ(A)=0, если A − конечное множество и μ(A)=∑wk, по tk∈A, если A − бесконечно.

40:30 Пример алгебры c объёмом, не мерой, все подмножества {tk}, такие что они сами или их дополнения конечны, объём μ(A)=∑wk по tk∈A, если A − конечное множество и μ(A)=∑wk+ε, по tk∉X\A, ε>0, если A − бесконечно. Пример сигма алгербы с объёмом, не мерой, все всевозможные подмножества {tk}⊂2^X, μ(A)=0, если A − конечное множество и μ(A)=∑wk, по tk∈A, если A − бесконечно.

Blog theme is excellent, has almost everything to read, Great slope io

Blog theme is excellent, has almost everything to read, Great slope io