Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 3

54:00 Неравенство μ0*(A\E)≥∑μ0(Qk) следует из конечной аддитивности внешней меры на алгебре без единицы всех конечных объединений элементов полукольца. Множество A\E из алгебры или пусть ⨆Qk⊂A\E. Так как внешняя мера μ0* конечно аддитивна на алгебре, то μ0*(A\E)≥μ0*(⨆Qk)=∑μ0*(Qk)=∑μ0(Qk). Докажем конечную аддитивность внешней меры на алгебре. Пусть ⨆Qk⊂⨆Fi есть счётное покрытие элементами полукольца конечного объединения, ε+μ0*(⨆Qk)>∑μ0(Fi)≥ так как Fi⋂(⨆Qk)⊂Fi ≥ ∑_i μ0(⨆_k(Fi⋂Qk))=по конечной аддитивности меры=∑_i ∑_k μ0(Fi⋂Qk)=меняем индексы i,k и применяем счётную аддитивность=∑_k μ0(⨆_i(Qk⋂Fi))= так как Qk⊂⨆Fi =∑μ0(Qk)=∑μ0*(Qk). Индекс k пробегает конечные значения, а i − счётные. Устремляем ε→0 и получаем μ0*(⨆Qk)≥∑μ0*(Qk).
59:50 Неравенство в одну сторону очевидно μ*(A)≤μ0*(A), так как для построения μ* инфинум берётся по более широкому семейству покрытий множества A. Докажем неравенство в другую сторону, пусть A⊂Fε покрытие элементом сигма алгебры измеримых множеств, что 2ε+μ*(A)>ε+μ(Fε)= так как μ сужение внешней меры =ε+μ0*(Fε)> существует покрытие элементами полукольца Fε⊂⨆Pk > ∑μ0(Pk)≥ так как это одно из покрытий A⊂⨆Pk по которым берётся инфинум ≥ μ0*(A). Устремляем ε→0 и получаем μ*(A)≥μ0*(A).
1:57:30 Меры λ^m просто ячеек и λ_q^m ячеек с рациональными концами порождают одну и ту же внешнюю меру. Неравенство λ^m*(A)≤λ_q^m*(A) очевидно, так как ячейки с рациональными концами являются подмножеством обычных и для поиска λ^m*(A) инфинум берётся по более широкому семейству покрытий. В другую сторону A⊂⨆Pk, 2ε+λ^m*(A)>∑ε/2^k+∑λ^m(Pk)=∑(λ^m(Pk)+ε/2^k)≥ ( пошевелили ячейки Pk⊂P'k, λ^m(P'k)≤λ^m(Pk)+ε/2^k ) ≥∑λ^m(P'k)= ячейка P'k с рациональными концами = ∑λ_q^m(P'k)≥λ_q^m*(A). После ε→0 и получаем λ^m*(A)≥λ_q^m*(A). Поэтому продолжения мер с обычных ячеек и с рациональных полностью совпадают.

I value the knowledge you present. The articles are inspiring and help me think creatively. Would you want to play the very realistic madalin stunt cars game for free?

Your article is very inspiring and interesting. Keep sharing more post like this one. Really appreciated with your post. 

PrepaidGiftBalance

Your article is very inspiring and interesting. Keep sharing more post like this one. Really appreciated with your post. 

PrepaidGiftBalance