Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 9

1:15:00 Напрашивается вопрос про возможность ослабления условий теоремы о замене переменной в интеграле. А именно можно ли заменить диффеоморфизм Φ на непрерывно дифференцируемую биекцию двух открытых областей? То есть можно ли разрешить обращаться якобиану замены переменных в ноль? Если мера множества тех точек, где якобиан нулевой, равна нулю, мы их можем выкинуть из области интегрирования и это не скажется на результате. А когда мера множества нулей якобиана равна нулю? Якобиан функция непрерывная, следовательно прообраз замкнутого множества обязательно замкнут, прообраз нуля есть замкнутое измеримое множество. Предположим множество нулей якобиана имеет непустую внутренность, содержит непустое открытое множество, тогда существует точка и некоторая её окрестность, сужение на которую функции Φ есть "плоское" отображение, его область значений является куском m−1-мерной поверхности, и значит Φ не биекция, поэтому множество нулей якобиана нигде не плотное. Но мера Лебега нигде не плотных множеств, как справедливо было замечено, необязательно равна нулю. Что представляют собой нули якобиана? Давайте предположим, что Φ дважды непрерывно дифференцируемая функция, тогда якобиан будет просто непрерывно дифференцируемой функцией и в точках своих нулей представляется первым линейным членом ряда Тейлора. Предположим градиент от якобина там не ноль и по непрерывности не ноль в некоторой окрестности, что означает, используя теорему о неявной функции, возможность представления пространства нулей якобиана в виде гладкой m−1 гиперповерхности в ℝ^m, прообраз нуля есть гладкое многообразие размерности m−1. Однако можно сделать вывод, что в случае, когда градиент от якобиана на множестве нулей не нулевой, мера Лебега этого множества равна нулю. Контрпример гладкой биективной функции с ненулевой мерой нулей якобиана я не придумал. Бывают ли такие функции?
Также можно попробовать ослабить условия иначе, пусть якобиан будет ненулевой, но отображение необязательно биекция, тогда про Φ можно сказать, что она диффеоморфизм только локально и область интегрирования раскладывается на объединение окрестностей, где теорема о замене работает. Мы можем сделать объединение дизъюнктным и сложить по нему все интегралы. Однако необходимо добавить условие, что множество тех точек, на которых функция Φ не взаимно однозначная, имеет нулевую меру Лебега.

​ @Азиз Эмбарек Спасибо большое за замечание. Я что-то не подумал, действительно Канторово множество имеет положительную меру, если выкидывать интервалы например длиной 1/6. И оно очевидно нигде не плотное замкнутое множество. На каждом интервале, дополнительном до Канторова множества, очевидно можно построить непрерывно дифференцируемую функцию в соответствующем масштабе, биекцию, с нулевой производной на концах, двигая их графики по вертикали можно добиться непрерывного распространения функции с кусочков на весь единичный отрезок. Но будет ли она гладкая? Не знаю контрпримера гладкой биективной функции с ненулевой мерой нулей якобиана. Бывают ли такие функции? И всё-таки если Φ дважды непрерывно дифференцируемая биекция и в нулях якобиана его градиент не нулевой, то мера Лебега множества нулей равна нулю. Потому что гладкую гиперповерхность размерности m−1 можно локально диффеоморфизмом отобразить в m−1 плоскость, а равенство нулю меры последней доказывалось в прошлых лекциях. Но это конечно всё лишнее, требовать двойную дифференцируемость, искать градиент от якобиана в нулях. Проще непосредственно проверить, что якобиан не равен нулю везде, кроме может быть множества нулевой меры.