Математический анализ | Александр Храбров. Лекция 11

1:49:45 Между прочим кривая просто непрерывная, а не кусочно гладкая. В определении линейной связности кривые непрерывные.
56:50 Мы можем взять любую параметризацию кривой, от параметризации ничего не зависит, так давайте возьмём натуральную параметризацию, где в качестве параметра s выступает длина. Суммы Римана стремятся к интегралу ∑f(γ(ξk))(l_{k+1}−l_k) → ∫fds при стремлении мелкости разбиения к нулю.
1:29:00 ∑∑fj(γ(ξk))(γj(tk+1)−γj(tk))= по формуле конечных приращений Лагранжа =
=∑∑fj(γ(ξk))γj'(ηjk)(t_{k+1}−t_k)=
обозначим мелкость разбиения δ, |t_{k+1}−t_k|<δ, max |fj(γ(t))|=M<+∞
функции γj'(t) равномерно непрерывны на отрезке [a, b], поэтому γj'(ηjk)=γj'(ξk)+o(1) равномерно по j, tk,
то есть для ∀ε>0 ∃δ, такое что |γj'(t~)−γj'(t)|<ε, как только |t~−t|<δ и ∀j
=∑∑fj(γ(ξk))γj'(ξk)(t_{k+1}−t_k)+∑∑fj(γ(ξk))o(1)(t_{k+1}−t_k)=
=∑∑fj(γ(ξk))γj'(ξk)(t_{k+1}−t_k)+o(1) ( ∑∑fj(γ(ξk))(t_{k+1}−t_k) )=
так как ∑fj(γ(ξk))(t_{k+1}−t_k)=∫fj(γ(t))dt+o(1), Cj=∫fj(γ(t))dt, C=∑Cj, |C|≤nM(b−a), ∑∑fj(γ(ξk))(t_{k+1}−t_k)=C+o(1)
=∑∑fj(γ(ξk))γj'(ξk)(t_{k+1}−t_k)+o(1)→ ∫ω, при δ→0.
Мелкость |t_{k+1}−t_k| равносильна мелкости ||γ(tk+1)−γ(tk)||, если функции γj(t) непрерывно дифференцируемы и γj'(t) не обращаются все одновременно в ноль.
1) По смыслу вектора скорости кривой γ(t~)−γ(t)=γ'(t) (t~−t)+o(t~−t)=(γ'(t)+ε) (t~−t)
||(γ'(t)+ε) (t~−t)||=||γ'(t)+ε|| |t~−t|=||γ(t~)−γ(t)||
|t~−t|≤1/(| ||γ'(t)||−||ε|| |) ||γ(t~)−γ(t)||, пусть ||ε||≤||γ'(t)||/2, тогда |t~−t|≤2/||γ'(t)|| ||γ(t~)−γ(t)||
⇒ функция t(γ) непрерывна на компакте, следовательно равномерно непрерывна
t(γ+Δγ)=t(γ)+o(1), Δγ=γ(t~)−γ(t), t~=t(γ+Δγ), t=t(γ),
|t_{k+1}−t_k|=|t(γ_{k+1})−t(γ_k)|=o(1) равномерно по γ_k, γ_k=γ(tk),
то есть для ∀ε>0 ∃δ, такое что |t(γ~)−t(γ)|<ε, как только ||Δγ||=||γ~−γ||<δ
2) s(t)=∫||γ'(τ)||dτ, |s'(t)|=||γ'(t)||, по теореме о среднем |s_{k+1}−s_k|=||γ'(ηk)|| |t_{k+1}−t_k|
|γj(tk+1)−γj(tk)|≤||γ(tk+1)−γ(tk)||≤|s_{k+1}−s_k|=max ||γ'(t)|| |t_{k+1}−t_k|, max ||γ'(t)||<+∞
⇒ |γj(tk+1)−γj(tk)|=O(|t_{k+1}−t_k|) равномерно по j, t_k.