Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 12

1:13:00 По простецки сначала докажу. Представим функцию G(t, x) через произведение с функцией Хевисайда
G(t, x)=θ(t)g(t, x). Так как θ'(t)=δ(t), то ∂/∂t G(t, x)=θ'(t)g(t, x)+θ(t)g'_t(t, x)=δ(t)g(t, x)+θ(t)g'_t(t, x). Но g'_t(t, x)=Δg(t, x) и ΔG(t, x)=θ(t)Δg(t, x), поэтому ∂G(t, x)/∂t−ΔG(t, x)=δ(t)g(t, x)+θ(t)g'_t(t, x)−θ(t)Δg(t, x)=δ(t)g(t, x). Устремим t→0, получим δ(t)g(t, x)→δ(t)δ(x).
Или по точнее, можно заменить ступенчатую функцию на гладкую аппроксимацию θ(s, t)=1/1+exp(−2t/s).
θ'(s, t)g(t, x)=2exp(−2t/s)/(s(1+exp(−2t/s))^2) g(t, x)=2/(s(exp(t/s)+exp(−t/s))^2) exp(−x^2/4|t|)/(4π|t|)^n/2=
=2/(4π|t|)^n/2 exp(−x^2/4|t|)/(s(exp(t/s)+exp(−t/s))^2)= делая замену переменной t получается
=2/(4π|t|s)^n/2 exp(−x^2/4|t|s)/(s(exp(t/s)+exp(−t/s))^2)
Семейство функций d(s, t, x)=θ'(s, t)g(t, x) есть дельтообразная последовательность или аппроксимативная единица, то есть она стремится к обобщённой функции, d(s, t, x)→δ(t)δ(x) при s→0.
Я чётным образом продолжил g(t, x) на отрицательные t и заменил G(t, x) гладкой аппроксимацией G(s,t,x)=θ(s,t)g(t,x).
1) Проверим, что ℝ^n+1_∫ d(s, t, x)dxdt=1 при ∀s>0.
ℝ^n+1_∫ d(s, t, x)dxdt=2(0,+∞)_∫ ℝ^n_∫θ'(s, t)g(t, x) dxdt= так как ℝ^n_∫g(t, x)dx=1 =
=2(0,+∞)_∫θ'(s, t)dt=(−∞,+∞)_∫θ'(s, t)dt=(−∞,+∞)_∫2/(exp(t)+exp(−t))^2dt=1
2) для ∀δ>0 lim (−∞,+∞)\(−δ, δ)_∫ ℝ^n\B(δ)_∫θ'(s, t)g(t, x) dxdt→0 при s→0.
∫2/(4π|t|s)^n/2 exp(−x^2/4|t|s)/(s(exp(t/s)+exp(−t/s))^2) dxdt=
=∫2/(4π|t|/s)^n/2 exp(−(x/s)^2s/4|t|)/(exp(t/s)+exp(−t/s))^2 d(x/s)d(t/s)= замена переменных
=(−∞,+∞)\(−δ/s, δ/s)_∫ ℝ^n\B(δ/s)_∫2/(4π|t|)^n/2 exp(−x^2/4|t|)/(exp(t)+exp(−t))^2 dxdt=
так как ℝ^n+1_∫2/(4π|t|)^n/2 exp(−x^2/4|t|)/(exp(t)+exp(−t))^2 dxdt=1
lim ℝ^n+1\(−δ/s, δ/s)×B(δ/s)_∫θ'(s, t)g(t, x) dxdt→0 при δ/s→+∞.
Функции G(s,t,x), d(s, t, x) терпят разрыв в t=0, x=0 также как и G(t,x), то есть наша дельтообразная последовательность состоит из разрывных функций.

Другой вариант это продолжить g(t, x) на отрицательные t нулём, это более логично, ведь G(t, x)=0 при t≤0, в отрицательной области сразу ничего нет, но тогда функцию Хевисайда надо аппроксимировать иначе θ(s,t)=1/1+exp(−2t/s)/s.
θ'(s, t)=2exp(−2t/s)/(s+exp(−2t/s))^2=2/(sexp(t/s)+exp(−t/s))^2
d(s, t, x)=2/(4π|t|s)^n/2 sexp(−x^2/4|t|s)/(s^2exp(t/s)+exp(−t/s))^2
1) Проверим, что lim (0,+∞)_∫ℝ^n_∫ d(s, t, x)dxdt=1 при s→0.
(0,+∞)_∫ ℝ^n_∫ d(s, t, x)dxdt=(0,+∞)_∫ ℝ^n_∫θ'(s, t)g(t, x) dxdt= так как ℝ^n_∫g(t, x)dx=1 =
=(0,+∞)_∫θ'(s, t)dt=(0,+∞)_∫2s/(sexp(t)+exp(−t))^2dt=(0,+∞)_∫2/(√sexp(t)+exp(−t)/√s)^2dt= обозначим √s=exp(−p)
=(0,+∞)_∫2/(exp(t−p)+exp(−t+p))^2dt=(−p, +∞)_∫2/(exp(t)+exp(−t))^2dt→1 при p→+∞.
Свойство 2) тоже выполняется. Здесь интеграл по всему пространству ℝ^n+1 от членов последовательности не равен точно 1, но стремится к этому значению. При выборе аппроксимации G(s,t,x) в данном случае оказывается важным поведение θ(s, t) в нуле, предельная функция должна быть непрерывна слева, θ(s, 0)→0 при s→0. В первом варианте функция g~(t)=ℝ^n_∫g(|t|, x)dx была непрерывна в окрестности точки t=0, g~(0)=1, имела устранимый разрыв, поэтому действие на неё дельта функции как непрерывного функционала <δ(t), g~(t)>=(−∞,+∞)_∫δ(t)g~(t)dt=g~(0) корректно определено, аппроксимировать δ(t) гладкими функциями можем как угодно. Здесь же функция g~(t)=ℝ^n_∫g(t, x)dx=1 при t>0, g~(t)=0 при t≤0, терпит разрыв первого рода в точке t=0, поэтому действие функционала δ(t) не определено. Однако мы всё равно можем рассмотреть дельтообразный функционал δ+(t), который в точках непрерывности ведёт себя как обычная дельта функция, а в точках разрыва первого рода он даёт правый односторонний предел функции при t→+0, а именно он нас и интересует.
<δ+(t), g~(t)>=(−∞,+∞)_∫δ+(t)g~(t)dt=g~(+0)=lim g~(t) при t→+0
Условие θ(s, 0)→0 при s→0 даёт нам как раз аппроксимацию такой дельта функции θ'(s, t)→δ+(t).
Функция G~(s,t)=ℝ^n_∫G(s,t,x)dx имеет разрыв в точке t=0, скачок функции равен θ(s, 0) и он уменьшается с убыванием s. Если же будет выполняться условие θ(s, 0)=0 при ∀s, то G~(s,t) станет непрерывной.
Третий вариант это доказывать интегрируя по частям, перекидывая производные с тестовой функции на G(t, x), и так как в точке t=0, x=0 у G(t, x) особенность, то она вырезается цилиндром (0, ε)×B(ε). Вне цилиндра подынтегральное выражение равно нулю, так как функция g(t, x) является решением однородного уравнения теплопроводности, внеинтегральные члены на бесконечности равны нулю из-за тестовой функции и остаётся только внеинтегральная часть на поверхности цилиндра. Интеграл по поверхности цилиндра (0, ε)×∂B(ε) функции ∂g(t, x)/∂ν в пределе ε→0 даёт единицу, а интеграл функции g(t, x) по поверхности стремится к нулю. При маленьких ε тестовую функцию под интегралом можно считать константой, равной её значению в точке t=0, x=0.
Используется формула интегрирования по частям ∫uΔv−vΔu dV=∫u∂v/∂ν−v∂u/∂ν dS.
Надо доказать, что
(0, ε)×∂B(ε)_∫ −∂g(t, x)/∂ν dS(x)dt=(0, ε)_∫∂B(ε)_∫|x|/2t exp(−x^2/4t)/(4πt)^n/2 dS(x)dt→1 при ε→0,
и (0, ε)×∂B(ε)_∫g(t, x)dS(x)dt=(0, ε)_∫∂B(ε)_∫exp(−x^2/4t)/(4πt)^n/2 dS(x)dt→0 при ε→0.
Первая (0, ε)_∫∂B(ε)_∫|x|/2t exp(−x^2/4t)/(4πt)^n/2 dS(x)dt= сделаем замену переменных
=(0, 1)_∫∂B(1)_∫1/2t exp(−ε/4t)/(4πt)^n/2 ε^n/2 dS(ω)dt=функция не зависит от ω
=S(∂B(1))ε^n/2 (0, 1)_∫1/2t exp(−ε/4t)/(4πt)^n/2dt,
(0, 1)_∫1/2t exp(−ε/4t)/(4πt)^n/2dt=замена t'=t/ε =(0, 1/ε)_∫1/2t exp(−1/4t)/(4πtε)^n/2dt
ε^n/2 (0, 1/ε)_∫1/2t exp(−1/4t)/(4πtε)^n/2dt → (0,+∞)_∫1/2t exp(−1/4t)/(4πt)^n/2dt при ε→0
Оказывается (0,+∞)_∫1/2t exp(−1/4t)/(4πt)^n/2 dt=1/S(∂B(1)), действительно
(0,+∞)_∫1/2t exp(−1/4t)/(4πt)^n/2 dt= замена t'=1/4t =(0,+∞)_∫1/2 t^(^n/2−1) exp(−t)/π^n/2 dt=
=1/2 1/π^n/2 (0,+∞)_∫t^(n/2−1)exp(−t)dt=1/2 1/π^n/2 Γ(n/2)=1/π^n/2 Γ(n/2+1)/n=1/S(∂B(1)).
Вторая (0, ε)_∫∂B(ε)_∫exp(−x^2/4t)/(4πt)^n/2 dS(x)dt= сделаем замену
=(0, 1)_∫∂B(1)_∫exp(−ε/4t)/(4πt)^n/2 ε^n/2 dS(ω)dt= функция не зависит от ω
=S(∂B(1))ε^n/2 (0, 1)_∫exp(−ε/4t)/(4πt)^n/2dt= сделаем замену
=S(∂B(1))ε (0, 1/ε)_∫exp(−1/4t)/(4πt)^n/2dt ≤ ε S(∂B(1)) (0, +∞)_∫exp(−1/4t)/(4πt)^n/2dt
(0,+∞)_∫exp(−1/4t)/(4πt)^n/2dt= замена t'=1/4t =(0,+∞)_∫1/4 t^(n/2−2)exp(−t)/π^n/2dt=1/4 1/π^n/2 Γ(n/2−1)
Следовательно (0, ε)×∂B(ε)_∫g(t, x)dS(x)dt=O(ε), для размерностей n=1 и n=2 нужно отдельно проверять.
На проверку ε(0, 1/ε)_∫exp(−1/4t)/√(4t)dt→0 и ε(0, 1/ε)_∫exp(−1/4t)/(4t)dt→0 при ε→0.
1:20:00 Формально по такой формуле функция u(t,x) не задана при t=0, потому что g(t, x) там не задана, поэтому под записью u|_t=0=φ надо понимать lim u(t, x)=φ(x) при t→+0.