Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 5

5:00 Просто давайте посчитаем вторые частные производные от сложной функции f(r(x,y), φ(x,y)), где r=√x^2+y^2, φ=arctan(y/x). f'x=f'r·x/r−f'φ·y/r^2, f'y=f'r·y/r+f'φ·x/r^2, f''xx=−f''rφ·xy/r^3+f''rr·x^2/r^2+f'r·(1/r−x^2/r^3)−f''φr·xy/r^3+2f'φ·xy/r^4+f''φφ·y^2/r^4, f''yy=f''rφ·xy/r^3+f''rr·y^2/r^2+f'r·(1/r−y^2/r^3)+f''φr·xy/r^3−2f'φ·xy/r^4+f''φφ·x^2/r^4 Сложим левые и правые части f''xx+f''yy=f''rr+f'r·(2/r−1/r)+f''φφ·1/r^2 Следовательно Δ=∂^2/∂x^2+∂^2/∂y^2=∂^2/∂r^2+1/r ∂/∂r+1/r^2 ∂^2/∂φ^2 В общем случае надо найти симметричную матрицу вторых частных производных по переменным x,y,z,... от сложной функции f(r(x, y, z, ...), φ(x, y, z, ...)) и вычислить след этой матрицы. 8:50 Другой, может быть более короткий путь поиска оператора Лапласа-Бельтрами в ℝ^3. Рассмотрим пространство ℝ^3 с сферическими координатами как Риманово многообразие. Найдём метрику, то есть вид скалярного произведения в касательном расслоении. ds^2=dx^2+dy^2+dz^2=(sin θ·cos φ dr+r cos θ·cos φ dθ−r sin θ·sin φ dφ)^2+(sin θ·sin φ dr+r cos θ·sin φ dθ+r sin θ·cos φ dφ)^2+(cos θ dr−r sin θ dθ)^2=dr^2+r^2 dθ^2+r^2 sin θ^2 dφ^2 ds^2=gr dr^2+gθ dθ^2+gφ dφ^2=<ds, ds>_g, где gr=1, gθ=r^2, gφ=r^2 sin θ^2, здесь dt=(dr, dθ, dφ), ds=(√grdr, √gθdθ, √gφdφ) Дифференциал функции в сферических координатах равен df=f'r dr+f'θ dθ+f'φ dφ=f'r/√gr (√gr·dr)+f'θ/√gθ (√gθ·dθ)+f'φ/√gφ(√gφ·dφ), где F'=(f'r, f'θ, f'φ) некоторое векторное поле в базисе ∂/∂r, ∂/∂θ, ∂/∂φ касательного пространства. Векторное поле соответствующее градиенту в этой метрике есть F=grad f=(f'r/√gr, f'θ/√gθ, f'φ/√gφ), <grad f, ds>_g=<F', dt>_g, а дифференциальная форма, от которой будем брать внешнюю производную, равна ω_F(ds1,ds2)=det |F, ds1, ds2|. ω_F(ds1,ds2)=f'r/√gr √gθgφ·(dθ1dφ2−dθ2dφ1)+f'θ/√gθ √grgφ·(dr2dφ1−dr1dφ2)+f'φ/√gφ √grgθ·(dr1dθ2−dr2dθ1) ω_F=f'r/√gr √gθgφ·dθ∧dφ+f'θ/√gθ √grgφ·dφ∧dr+f'φ/√gφ √grgθ·dr∧dθ Берём внешнюю производную дифференциальной формы dω_F=( ∂/∂r(f'r/√gr √gθgφ)+∂/∂θ(f'θ/√gθ √grgφ)+∂/∂φ(f'φ/√gφ √grgθ) ) dr∧dθ∧dφ dω_F=1/√grgθgφ ( ∂/∂r(f'r/√gr √gθgφ)+∂/∂θ(f'θ/√gθ √grgφ)+∂/∂φ(f'φ/√gφ √grgθ) ) √grgθgφ·dr∧dθ∧dφ dω_F(ds1,ds2,ds3)=1/(r^2 sin θ) ( ∂/∂r(f'r r^2 sin θ)+∂/∂θ(f'θ sin θ)+∂/∂φ(f'φ/sin θ) ) det|ds1,ds2,ds3| dω_F(ds1,ds2,ds3)=div F det|ds1,ds2,ds3|=div F dS Δf=div grad f=1/(r^2 sin θ) ( f''rr r^2 sin θ+2f'r r sin θ+f''θθ sin θ+f'θ cos θ+f''φφ/sin θ) Δf=f''rr+2f'r/r+f''θθ/r^2+f'θ/(r^2 tan θ)+f''φφ/(r^2 sin θ^2) Δ=∂^2/∂r^2+2/r ∂/∂r+1/r^2 (∂^2/∂θ^2+cot(θ)∂/∂θ+1/sin θ^2 ∂^2/∂φ^2) 35:00 Тут хочется применить формулу Стокса ∫_Ω dω=∫_∂Ω ω, но для какой дифференциальной формы? Рассмотрим n-мерную сферу S^n как Риманово многообразие с метрикой ds^2=g1 dt1^2+g2 dt2^2+...+gn dtn^2. И рассмотрим n−1-форму ω(s1,...,sn−1)=u·det |V, ds1,..., dsn−1| и ω'=det |V, ds1,..., dsn−1|, где векторное поле F=grad f=(f't1/√gt1, ..., f'tn/√gtn) есть поле градиента функции f. Разобьём сферу на конечное число n-мерных граней Ω=S=∪Sk, это будет n-мерная цепь, её граница ∂S есть n−1-мерная цепь и это цикл ∂S=0, потому что сфера сама является границей шара S=∂B, поэтому ∂S=∂∂B=0, граница от границы цепи всегда равна нулю. Грань − это образ при некотором невырожденном дифференцируемом отображении из координатного пространства в сферу произвольного многоугольника или в общем случае многогранника. Цепью размерности n я называю сумму ориентированных n-мерных граней, каждая грань входит в сумму с целым коэффициентом, его знак равен ориентации грани, а модуль отражает то, сколько раз мы эту грань повторяем. Очевидно цепи между собой можно складывать и вычитать, составлять различные линейные комбинации с целыми коэффициентами. Цикл − это цепь с нулевой границей. Так как ∂S=0, то ∫_S dω=∫_∪Sk dω=∑∫_Sk dω=( к отдельной грани применяем формулу Стокса )=∑∫_∂Sk ω=∫_∪∂Sk ω=∫_∂S ω=0 и ⇒ ∫_S dω=0. Посмотрим чему же равен dω, по аналогии с ℝ^3 найдём представление ω через сумму всевозможных внешних произведений 1-форм dt_i_1∧dt_i_2∧...∧dt_i_(n−1) с n−1 множителем, при этом функцию f можно считать 0-формой. Обозначим g=∏gk, ωtk=dt1∧dt2∧...∧dtk−1∧dtk+1∧...∧dtn − это n−1-форма, тогда представляются в виде суммы ω=∑u·v'tk/gtk√g·ωtk, ω'=∑v'tk/gtk√g·ωtk. Между прочим якобиан перехода от n+1 декартовых координат к сферическим равен r^n√g, обозначим Sr − сфера радиуса r, объём n+1 единичного шара V(B)=∫_B1dV=( перешли в сферические координаты t, где dV(t)=dt1·...·dtn )=∫_B r^n √g dr dV(t)=∫_0^1(∫_Sr r^n√g dV(t))dr=∫_S(∫_0^1 r^n√g dr)dV(t)=∫_S(∫_0^1 r^n dr)√g dV(t)=1/(n+1)∫_S √g dV(t), с другой стороны V(B)=∫_0^1 площадь(Sr) dr=∫_0^1 r^n·площадь(S) dr=1/(n+1)площадь(S), следовательно площадь(S)=∫_S √g dV(t)=∫_S dS(t) и ⇒ √g dt1·...·dtn=dS(t). dω=d(∑u·v'tk/gtk√g·ωtk)=d(u·(∑v'tk/gtk√g·ωtk))=d(u∧(∑v'tk/gtk √g·ωtk))=d(u∧ω') Дифференцируем по правилу дифференцирования форм d(αω+βω')=αdω+βdω' линейность, d(ωm∧ωn)=dωm∧ωn+(−1)^m·ωm∧dωn=ω_(n+m+1) для любых m-форм ωm и n-форм ωn. dω=du∧ω'+u∧dω'=∑v'tk/gtk √g·du∧ωtk+u∧d(∑v'tk/gtk √g·ωtk)=∑v'tk/gtk √g·du∧ωtk+f·d(∑v'tk/gtk √g·ωtk) Воспользовались (αω+βω')∧ω''=αω∧ω''+βω'∧ω'', ω''∧(αω+βω')=αω''∧ω+βω''∧ω' и тем, что ω0∧ω=ω0·ω. Вычислим du∧ωtk=(∑u'tj dtj)∧ωtk=(∑u'tj dtj)∧dt1∧dt2∧...∧dtk−1∧dtk+1∧...∧dtn=u'tk dt1∧...∧dtn. Первое слагаемое dω таким образом равно ∑v'tk/gtk √g·du∧ωtk=∑v'tk·u'tk/gtk √g dt1∧...∧dtn=∑v'tk·u'tk/gtk dS(t)=<grad u, grad v> dS(t) Второе слагаемое =u·dω'=u·d(∑v'tk/gtk √g·ωtk)=u(∑v'tk/gtk √g·dωtk)=u div V dS(t), где div F=1/√g ∑∂/∂tk(f'tk/gtk √g). Потому что d(∑f'tk/gtk √g·ωtk)=∑∂/∂tk(f'tk/gtk√g) dt1∧...∧dtn=1/√g ∑∂/∂tk(f'tk/gtk√g) √g dt1∧...∧dtn=div F dS(t) Итак u∧dω'=u div grad v dS(t)=uΔv dS(t), 0=∫_S dω=∫_S <grad u, grad v> dS(t)+∫_S u·ΔvdS(t) ⇒ ∫_S u·ΔvdS(t)=−∫_S <grad u, grad v> dS(t) Обозначим Δ_s=Δ=1/√g ∑∂/∂tk(√g/gtk ∂/∂tk), ∇_τ=(1/√gt1 ∂/∂t1, ...,1/√gtn ∂/∂tn) Возвращаясь к ℝ^3, заметим, что когда f не зависит от r и gr=1, тогда F=grad f=(0, f'θ/√gθ, f'φ/√gφ) и ω_F=f'θ/√gθ √gφ·dφ∧dr+f'φ/√gφ √gθ·dr∧dθ, dω_F=1/√gθgφ ( ∂/∂θ(f'θ/√gθ √gφ)+∂/∂φ(f'φ/√gφ √gθ) ) √gθgφ·dr∧dθ∧dφ. То есть градиент оказался векторным полем F*=grad f*=(f'θ/√gθ, f'φ/√gφ) из касательного пространства подмногообразия на единицу меньшей размерности и если зафиксировать dr=1, то ω_F=ω_F*=f'θ/√gθ √gφ·dφ+f'φ/√gφ √gθ·dθ, dω_F=dω_F*=1/√gθgφ ( ∂/∂θ(f'θ/√gθ √gφ)+∂/∂φ(f'φ/√gφ √gθ) ) dS, дивергенция поля F совпадает с дивергенцией F* , div F=div F*, аналогично при n>3, когда f'r=0, gr=1. Следовательно Δ_s есть оператор Лапласа-Бельтрами в S^n−1.

Поправка, должно быть так ωtk=(−1)^(k−1)dt1∧dt2∧...∧dtk−1∧dtk+1∧...∧dtn − это n−1-форма

8:50 Почему поле F'=(f'r, f'θ, f'φ) не градиент в сферических координатах?
Более привычно увидеть градиентное поле не в 2-форме, а в 1-форме, в декартовых координатах <∇f, dw>. Воспринимая ∇f как элемент кокасательного пространства в декартовой системе координат, переходя в сферические координаты вектор умножаются на матрицу Якоби J=∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ), F'=J^−1^*∇f. Скалярное произведение в сферических координатах ===( обозначим G=J^*J, g=det G )==_g. Назовём градиентом функции f такой вектор F из касательного пространства, что df(dt)=_g. Утверждается, что F≠F'. Если в касательном пространстве задано скалярное произведение, то мы можем перейти к ортонормированному базису. В ортонормированной системе координат есть каноническое отождествление касательного и кокасательного пространств, просто покоординатное, F_кос=EF_кокос, матрица E − единичная, потому что действие кокасательного вектора на касательном пространстве F_кокос(ds)=∑fk·dsk=_g совпадает с скалярным произведением на его касательную копию и также скалярное произведение однозначно задаёт все 1-формы, через смешанное векторное произведение задаются все 2-формы. Таким образом каждая форма привязана к некоторому касательному вектору, поэтому хоть в координатном виде выглядеть всё может по разному, но, как и скалярное произведение касательных векторов, она инвариантна относительно ортогональной замены координат. Сечение кокасательного расслоения можно рассматривать как дифференциальную 1-форму и эта форма через кокасательный вектор отождествляется с сечением касательного расслоения. Посмотрим на отождествление F_кос=EF_кокос и вернёмся из ортонормированного в исходный штрихованный базис матрицей G', v'_кос=G'v_кос, G'^−1≠G'^*, G'^−1F'_кос=G'^*F'_кокос, теперь координаты касательного собрата определяются как F'_кос=G'G'^*F'_кокос, каноническое отождествление разрушилось G'G'^*≠E, касательную версию кокасательного вектора теперь надо искать при помощи матрицы G'G'^*, действие вектора F'_кокос(dt)=_g≠∑f'k·dtk. При произвольной замене координат J, v''_кос=Jv'_кос, скалярное произведение векторов <.,.>_g по сути меняет только своё координатное представление, меняется матрица G, но очевидно JF'_кос≠J^−1^*G'^−1G'^−1^*F'_кос=J^−1^*F'_кокос при J≠J^−1^*G'^−1G'^−1^*, то есть касательный образ кокасательного вектора, участвующего в скалярном произведении, меняется при замене координат, а значит не будут инварианты и соответствующие формы. Раз базис ∂/∂r, ∂/∂θ, ∂/∂φ не ортонормированный, то мы не можем вектор (f'r, f'θ, f'φ) кокасательного расслоения канонически отождествить с вектором из касательного пространства, градиентом считается сечение из касательного расслоения, но мы можем подействовать на F'_кокос матрицей G'G'^*, найдя координаты градиента или перейти в ортонормированный базис, в любом случае координатное представление градиента не совпадёт с исходным представлением поля F'.
В нашем случае матрица перехода к ортонормированному базису G' очевидно равна G'=diag{1/√gr, 1/√gθ, 1/√gφ}, G=G'^−1G'^−1^*, det G'^−1=√g. Градиент равен grad f=G'G'^* F'=(f'r/gr, f'θ/gθ, f'φ/gφ) в метрике <.,.>_g.
Теперь чтобы перейти к 2-форме, соответствующей градиенту, надо взять смешанное произведение трёх векторов в этой метрике, как выглядит это произведение непонятно, точнее его можно выразить через длины векторов с косинусами и синусами углов между ними. Мы знаем, что в ортонормированной системе смешанное произведение есть просто определитель координат. Перейдём к ортонормированному базису ds, тогда градиент станет равен F=(f'r/√gr, f'θ/√gθ, f'φ/√gφ).
ω_F(ds1,ds2)=det |F, ds1, ds2|
ω_F(ds1,ds2)=f'r/√gr √gθgφ·(dθ1dφ2−dθ2dφ1)+f'θ/√gθ √grgφ·(dr2dφ1−dr1dφ2)+f'φ/√gφ √grgθ·(dr1dθ2−dr2dθ1)
Ага, понятно, в исходной системе координат форма может быть записана так
ω_F(dt1,dt2)=√g·det |grad f, dt1, dt2|, это тоже определитель, но с поправкой √g.
Осталось посмотреть на 3-форму, что происходит с ней. ω(dw1,dw2,dw3)=w(x, y, z) det|dw1,dw2,dw3|=w(r, θ, φ) det|J^*dt1,J^*dt2,J^*dt3|=w(r, θ, φ) g'·det|dt1,dt2,dt3|, здесь очевидно g'=detJ=1, когда J ортогональная и g'≠1 в противном случае. Перейдём к ортонормальному базису матрицей G' ω(dw1,dw2,dw3)=w(r, θ, φ) g'·det|G'ds1,G'ds2,G'ds3|=w(r, θ, φ) det|ds1,ds2,ds3|, так как g'=detJ=√g, det|G'|=1/√g.

8:50 Почему поле F'=(f'r, f'θ, f'φ) не градиент в сферических координатах?
Более привычно увидеть градиентное поле не в 2-форме, а в 1-форме, в декартовых координатах <∇f, dw>. Воспринимая ∇f как элемент кокасательного пространства в декартовой системе координат, переходя в сферические координаты вектор умножаются на матрицу Якоби J=∂(x, y, z)/∂(r, θ, φ), F'=J^−1^*∇f. Скалярное произведение в сферических координатах ===( обозначим G=J^*J, g=det G )==_g. Назовём градиентом функции f такой вектор F из касательного пространства, что df(dt)=_g. Утверждается, что F≠F'. Если в касательном пространстве задано скалярное произведение, то мы можем перейти к ортонормированному базису. В ортонормированной системе координат есть каноническое отождествление касательного и кокасательного пространств, просто покоординатное, F_кос=EF_кокос, матрица E − единичная, потому что действие кокасательного вектора на касательном пространстве F_кокос(ds)=∑fk·dsk=_g совпадает с скалярным произведением на его касательную копию и также скалярное произведение однозначно задаёт все 1-формы, через смешанное векторное произведение задаются все 2-формы. Таким образом каждая форма привязана к некоторому касательному вектору, поэтому хоть в координатном виде выглядеть всё может по разному, но, как и скалярное произведение касательных векторов, она инвариантна относительно ортогональной замены координат. Сечение кокасательного расслоения можно рассматривать как дифференциальную 1-форму и эта форма через кокасательный вектор отождествляется с сечением касательного расслоения. Посмотрим на отождествление F_кос=EF_кокос и вернёмся из ортонормированного в исходный штрихованный базис матрицей G', v'_кос=G'v_кос, G'^−1≠G'^*, G'^−1F'_кос=G'^*F'_кокос, теперь координаты касательного собрата определяются как F'_кос=G'G'^*F'_кокос, каноническое отождествление разрушилось G'G'^*≠E, касательную версию кокасательного вектора теперь надо искать при помощи матрицы G'G'^*, действие вектора F'_кокос(dt)=_g≠∑f'k·dtk. При произвольной замене координат J, v''_кос=Jv'_кос, скалярное произведение векторов <.,.>_g по сути меняет только своё координатное представление, меняется матрица G, но очевидно JF'_кос≠J^−1^*G'^−1G'^−1^*F'_кос=J^−1^*F'_кокос при J≠J^−1^*G'^−1G'^−1^*, то есть касательный образ кокасательного вектора, участвующего в скалярном произведении, меняется при замене координат, а значит не будут инварианты и соответствующие формы. Раз базис ∂/∂r, ∂/∂θ, ∂/∂φ не ортонормированный, то мы не можем вектор (f'r, f'θ, f'φ) кокасательного расслоения канонически отождествить с вектором из касательного пространства, градиентом считается сечение из касательного расслоения, но мы можем подействовать на F'_кокос матрицей G'G'^*, найдя координаты градиента или перейти в ортонормированный базис, в любом случае координатное представление градиента не совпадёт с исходным представлением поля F'.
В нашем случае матрица перехода к ортонормированному базису G' очевидно равна G'=diag{1/√gr, 1/√gθ, 1/√gφ}, G=G'^−1G'^−1^*, det G'^−1=√g. Градиент равен grad f=G'G'^* F'=(f'r/gr, f'θ/gθ, f'φ/gφ) в метрике <.,.>_g.
Теперь чтобы перейти к 2-форме, соответствующей градиенту, надо взять смешанное произведение трёх векторов в этой метрике, как выглядит это произведение непонятно, точнее его можно выразить через длины векторов с косинусами и синусами углов между ними. Мы знаем, что в ортонормированной системе смешанное произведение есть просто определитель координат. Перейдём к ортонормированному базису ds, тогда градиент станет равен F=(f'r/√gr, f'θ/√gθ, f'φ/√gφ).
ω_F(ds1,ds2)=det |F, ds1, ds2|
ω_F(ds1,ds2)=f'r/√gr √gθgφ·(dθ1dφ2−dθ2dφ1)+f'θ/√gθ √grgφ·(dr2dφ1−dr1dφ2)+f'φ/√gφ √grgθ·(dr1dθ2−dr2dθ1)
Ага, понятно, в исходной системе координат форма может быть записана так
ω_F(dt1,dt2)=√g·det |grad f, dt1, dt2|, это тоже определитель, но с поправкой √g.
Осталось посмотреть на 3-форму, что происходит с ней. ω(dw1,dw2,dw3)=w(x, y, z) det|dw1,dw2,dw3|=w(r, θ, φ) det|J^*dt1,J^*dt2,J^*dt3|=w(r, θ, φ) g'·det|dt1,dt2,dt3|, здесь очевидно g'=detJ=1, когда J ортогональная и g'≠1 в противном случае. Перейдём к ортонормальному базису матрицей G' ω(dw1,dw2,dw3)=w(r, θ, φ) g'·det|G'ds1,G'ds2,G'ds3|=w(r, θ, φ) det|ds1,ds2,ds3|, так как g'=detJ=√g, det|G'|=1/√g.