Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 9

1:00 Функция g(t, x) есть решение однородного волнового уравнения, при f=0, с краевыми условиями φ=0 и ψ=δ(x). В прошлой лекции видимо нашли это решение,
g(t, x)=1/2c [x−ct, x+ct]_∫ δ(y)dy= так как θ'(x)=δ(x) =1/2c (θ(x+ct) − θ(x−ct)), где θ(x) − единичная функция Хевисайда.
Функция Грина G(t, x) есть решение неоднородного уравнения с правой частью f(t, x)=δ(t, x) и с краевыми условиями φ=0 и ψ=0.
14:30 Решение будет из C^2 потому что операторы дифференцирования мы можем протащить под интеграл свёртки и навесить на функции f, φ, ψ, которые сами из класса C^2. Увеличения степени гладкости до бесконечности здесь нет, как это происходит у эллиптического уравнения.
15:40 Сделаем замену функции u на u~=u−μ, после чего произойдут такие изменения в уравнении
f~=f−μ'', φ~=φ−μ, ψ~=ψ−μ' и u~(0, t)=u~'(0, t)=0, в точке x=0 струна закреплена.
Применим метод отражений и распространим функции f~, φ~, ψ~ симметричным образом на всю вещественную прямую f~(t, −x)=−f~(t, x). Свели задачу к бесконечной в обе стороны струне.
u~(t, x)=1/2(φ~(x+ct)+φ~(x−ct))+1/2c [x−ct, x+ct]_∫ ψ~(y)dy+1/2c [0, t]_∫[x−c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f~(τ, y)dydτ
Если x−ct ≥ 0, x≥ct, мы находимся далеко от начала и прошло мало времени, в этом случае всё происходит как на бесконечной прямой, две волны бегут в разные стороны.
u(t, x)=1/2(φ(x+ct)+φ(x−ct))+1/2c [x−ct, x+ct]_∫ ψ(y)−μ'(0)dy+1/2c [0, t]_∫[x−c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f(τ, y)−
μ''(τ)dydτ+μ(t)−μ(0)
Так как [0, t]_∫(t−τ)
μ''(τ)dτ=t(μ'(t)−μ'(0))−[0, t]_∫τ
μ''(τ)dτ=по частям=t(μ'(t)−μ'(0))−tμ'(t)+μ(t)−μ(0)=μ(t)−μ(0)−tμ'(0)
, то u(t, x)=1/2(φ(x+ct)+φ(x−ct))+1/2c [x−ct, x+ct]_∫ ψ(y)dy+1/2c [0, t]_∫[x−c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f(τ, y)dydτ
Двигающаяся из начала часть волны здесь отсутствует, она не успела ещё дойти. В случае, если произошло наложение с отражённой волной, то есть когда x−ct < 0
u(t, x)=1/2(φ(x+ct)−φ(−x+ct))+1/2c [−x+ct, x+ct]_∫ ψ(y)−μ'(0)dy+
+1/2c [0, t−x/с]_∫[−x+c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f(τ, y)−
μ''(τ)dydτ+1/2c [t−x/с, t]_∫[x−c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f(t, y)−
μ''(τ)dydτ+μ(t)
Так как [0, t−x/с]_∫
μ''(τ)dτ=μ'(t−x/с)−μ'(0),
[t−x/с, t]_∫(t−τ)μ''(τ)dτ=t(μ'(t)−μ'(t−x/с))−[t−x/с, t]_∫τμ''(τ)dτ=по частям=
=t(μ'(t)−μ'(t−x/с))−tμ'(t)+(t−x/с)μ'(t−x/с)+μ(t)−μ(t−x/с)=μ(t)−μ(t−x/с)−x/сμ'(t−x/с)
,то u(t, x)=1/2(φ(x+ct)−φ(−x+ct))+1/2c [−x+ct, x+ct]_∫ ψ(y)dy+
+1/2c [0, t−x/с]_∫[−x+c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f(τ, y)dydτ+1/2c [t−x/с, t]_∫[x−c(t−τ), x+c(t−τ)]_∫ f(t, y)dydτ+μ(t−x/с)
Начальное колебание μ(t) приходит в точку x с запаздыванием x/с, как раз столько времени нужно на распространение сигнала.
Пусть начальная точка неподвижна μ(t)=0 и f=0, тогда решение
u(t, x)=1/2(φ(x+ct)−φ(−x+ct))+1/2c [−x+ct, x+ct]_∫ ψ(y)dy.
Отражённая волна бежит вправо −φ(−x+ct)/2, а относящаяся к ψ часть интерферировала с отражением на отрезке [0, −x+ct] в ноль.

Задача конечной струны длиной L с закреплёнными концами. В этом случае распространим функции f, φ, ψ симметрично на отрезок [−L, 0] −f(t, −x)=−f(t, x) и периодическим образом на всю вещественную прямую n=[x/2L], f(t, x)=f(t, x−n2L). Решение u и f представим в виде ряда Фурье по пространственной координате.
u(t, x)=∑Un(t)sin(πnx/L), f(t, x)=∑Fn(t)sin(πnx/L)
Подставим ряд в уравнение ∂^2u/∂t^2−c^2∂^2u/∂x^2=f
Un''(t)+c^2π^2n^2/L^2Un(t)=Fn(t)
Обозначим ω^2=c^2π^2/L^2, для однородного уравнения Fn(t)=0 решение есть
Un(t)=Un exp(inωt)+U−n exp(−inωt), коэффициенты Un, U−n находят из начальных условий.
u(t, x)=∑Un exp(inωt)sin(π|n|x/L)=∑(An cos(πnct/L)+Bn sin(πnct/L))sin(πnx/L).
u(t, x)=∑Cn sin(πnct/L+φn)sin(πnx/L), Cn=√An^2+Bn^2, φn=arctan(An/Bn).
При ψ=0, φ=∑Φn sin(πnx/L), решение u(t, x)=∑Φn cos(πnct/L)sin(πnx/L).
При φ=0, ψ=∑Ψn sin(πnx/L), решение u(t, x)=∑Ψn sin(πnct/L)sin(πnx/L).
Найдём коэффициент c волнового уравнения для струны длиной L, массой m и натяжением T.
В каждой точке струны в любой момент времени сила натяжения T(t, x) направлена по касательной и равна по абсолютной величине силе натяжения на концах |T(t, 0)|=|T(t, L)|=T. Обозначим Δα − угол между векторами T(t, x) и T(t, x+Δx), на бесконечно малый элемент струны [x, x+Δx] действует сила F=T(t, x+Δx)−T(t, x), |F|=2T|sin(Δα/2)|. По формуле конечных приращений
tan(α+Δα)=tan(α)+1/cos(α)^2 Δα+o(Δα) и u'x(t, x+Δx)=u'x(t, x)+u''xx(t, x)Δx+o(Δx).
Из геометрического смысла производной tan(α)=∂u/∂x, поэтому tan(α+Δα)−tan(α)=u'x(t, x+Δx)−u'x(t, x).
При маленьких α можно считать 1/cos(α)^2≈1, проекция F на вертикальную ось
F_u=sign(Δα)|F|cos(α−Δα/2)≈sign(Δα)|F|=2Tsin(Δα/2), сила F направлена вдоль вертикальной оси F≈F_u, поэтому в первом приближении справедливо
Δα+o(Δα)=u''xx(t, x)Δx+o(Δx), F=TΔα+o(Δα)=Tu''xx(t, x)Δx+o(Δx).
Во время колебаний струны её длина меняется L(t)=∫√(u'x(t,x)^2+1)dx, соответственно меняется плотность ρ~(t)=m/L(t), плотность по координате x равна ρ(t,x)=ρ~(t) √u'x(t,x)^2+1. Считая α достаточно малым, а с ним и u'x=tan(α), можем приблизительно считать L(t)≈L, ρ(t,x)≈m/L=ρ.
Из закона Ньютона F=ma, применённого к элементу струны [x, x+Δx], получается
Tu''xx(t, x)Δx+o(Δx)=ρΔx u''tt(t, x)
После деления на Δx и Δx→0, находим дифф. уравнение u''tt(t, x)−T/ρ u''xx(t, x)=0
Коэффициент c^2=T/ρ, круговая частота ω=π/√ρ √T/L=π/√L √T/√m. Итак частота звуковой волны прямо пропорциональна квадратному корню из силы натяжения струны и обратно пропорциональна её длине, при фиксированной длине обратно пропорциональна корню из массы.