Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 11

46:30 Начинаем также как в 3D, переходим к Фурье образам, получаем однородное дифференциальное уравнение второго порядка по t, g^''_tt+c^2ξ^2g^=0 с начальными условиями при t=0 g^=0, g^'_t=1/2π.
Общее решение g^(t, ξ)=Acos(c|ξ|t)+Bsin(c|ξ|t), с учётом начальных данных g^(t, ξ)=sin(c|ξ|t)/2πc|ξ|. После проведения регуляризации g^ε(t, ξ)=sin(c|ξ|t)/2πc|ξ| exp(−ε|ξ|). Будем делать обратное преобразование Фурье.
g^ε(t, x)=1/4π^2 ℝ^2_∫ sin(c|ξ|t)/c|ξ| exp(−ε|ξ|)exp(iξx)dξ= перейдём в полярные координаты ξ=(ρcos(φ), ρsin(φ))
=1/4π^2c [0, 2π]_∫(0, +∞)_∫ sin(cρt)exp(−ερ)exp(iρ|x|cos φ)dρdφ=
Рассмотрим отдельно
(0, +∞)_∫ sin(cρt)exp(−ερ)exp(iρ|x|cos φ)dρ=Im (0, +∞)_∫ exp(icρt)exp(−ερ)exp(iρ|x|cos φ)dρ=
=Im (0, +∞)_∫ exp(i(cρt+ρ|x|cos φ)−ερ)dρ=Im 1/(ε−i(ct+|x|cos φ))=Im (ε+i(ct+|x|cos φ))/(ε^2+(ct+|x|cos φ)^2)=
=(ct+|x|cos φ)/(ε^2+(ct+|x|cos φ)^2)
После ε→0 lim ...=1/(ct+|x|cos φ)
g(t, x)=1/4π^2c [0, 2π]_∫ dφ/(ct+|x|cos φ)
Найдём интеграл [0, 2π]_∫ dφ/(p+cos φ)=, сделаем замену z=exp(iφ), dz/iz=dφ, cos φ=(z+1/z)/2
=2/i C_∫dz/(2zp+z^2+1)=C_∫2/(2zp+z^2+p^2+1−p^2)dz/i=2/i C_∫dz/((z+p)^2−(p^2−1))=
=2/i C_∫dz/(z+p−√(p^2−1))(z+p+√(p^2−1))
Комплексный интеграл равен сумме вычетов C_∫f(z)dz=2πi ∑ Res_{z=a_k} f(z), у нас простой полюс в точке √(p^2−1)−p, так как p>1.
Res_{z=√(p^2−1)−p} 1/(z+p−√(p^2−1))(z+p+√(p^2−1))=lim 1/(z+p+√(p^2−1))=1/(2√(p^2−1)), при z→√(p^2−1)−p
Итак [0, 2π]_∫1/(p+cos φ)dφ=2π/√(p^2−1)
У нас p=ct/|x|, ⇒ g(t, x)=1/2πc 1/√(ct^2−|x|^2) при ct>|x| и g(t, x)=0 иначе.