Математическая физика | Николай Филонов. Лекция 2

21:50 Функционал выражается через интеграл Лебега по множеству Ω⊂ℝ носителя функции u, dx − мера Лебега, R-∫ − интеграл Римана, R-S-∫ − Римана-Стилтьеса, L-S-∫ − Лебега-Стилтьеса. 1) Модуль |x| абсолютно непрерывная функция на компактах? Если функция f абсолютно непрерывна на отрезке [a,b], то она дифференцируема в обычном смысле почти всюду f'∈L^1([a,b]) и мало того, верна формула Ньютона-Лейбница f(x)=f(a)+∫_([a,x])f'dx. То есть в данном случае если μ([a,b))=f(a)−f(b)=∫_([a,b])f'dx задаёт меру μ, f(x)=μ([a,x)), то функционал <f',u>=∫u·f'dx=∫u·dμ выражается через интеграл Лебега с регулярной функцией dμ/dx=f'∈L^1([a,b]), плотностью меры dμ относительно меры Лебега dx. <f,u'>=∫f·u'dx=∫fdu=R-S-∫fdu=формула по частям=−R-S-∫udf=−∫udμ=−∫u·f'dx=−<f',u> <|x|',u>=−∫_(Ω)u'|x|dx=−∫_(Ω⋂(−∞,0])u'(−x)dx−∫_(Ω⋂[0,+∞))u'xdx=по частям=R-∫_(Ω⋂(−∞,0])−udx+R-∫_(Ω⋂[0,+∞))udx=∫_(Ω)uvdx=∫_(Ω)udμ, где v(x)=dμ/dx∈L^1_loc(ℝ) плотность меры под интегралом, тогда |x|'=v(x)={−1, x∈(−∞,0); 0, x=0; 1, x∈(0,+∞)}. Строго говоря как функций из L^1_loc(ℝ) производных |x|' может быть много, все они например отличаются между собой значением в точке x=0, т.е. функция v^~(0)=v(0)+C, ∀C∈ℝ и равенство v^~(x)=v(x) для остальных точек. И вообще функция v^~(x), отличающаяся от v(x) на множестве нулевой меры, подходит в качестве производной. 2) Монотонная функция тоже почти всюду дифференцируема. <θ',u>=−∫_(Ω)u'θdx=−∫_(Ω⋂(−∞,0])u'·0dx−∫_(Ω⋂[0,+∞))u'·1dx=−R-∫_(Ω⋂[0,+∞))u'·1dx=по частям=u(0)+R-∫_(Ω)u·0dx=u(0)=∫_(Ω)u·δdx, отсюда следует, что θ'=δ. Ещё функционал можно свести к интегралу Лебега-Стилтьеса, а тот в свою очередь к интегралу Римана-Стилтьеса. Так как функция θ(x) монотонная ограниченной вариации, то она задаёт, как функция распределения, некоторую счётно-аддитивную (атомарную) меру μ([a,b))=θ(b)−θ(a)=∫_([a,b))δdx=δ([a,b)), θ(x)=δ((−∞,x)), считаем θ(0)=0. Рассмотрим интеграл <θ',u>=−∫_(Ω)νu'dx=−L-S-∫_(Ω)θu'dx=−R-S-∫_(Ω)θu'dx=−R-S-∫_(Ω)θdu=для интеграла Римана-Стилтьеса есть формула интегрирования по частям =R-S-∫_(Ω)udθ=L-S-∫_(Ω)udμ=u(0), так как мера μ=δ. 46:30 Однородный полином степени k от n переменных состоит из (n+k−1)!/((n−1)!k!) мономов, это число размещений из n переменных по k c k повторениями. Число мономов есть размерность всех однородных полиномов. Лаплас от полинома будет полиномом степени k−2, значит лаплас есть линейное отображение из пространства k полиномов в пространство меньшей размерности k−2 полиномов, а линейное подпространство гармонических есть ядро этого отображения. Так как отображение сюръективное, то размерность ядра есть разность размерностей пространств, (n+k−1)!/((n−1)!k!)−(n+k−3)!/((n−1)!(k−2)!). а) n=2, (k+1)!/k!−(k−1)!/(k−2)!=(k+1)−(k−1)=2, б) n=3, (k+2)!/(2k!)−(k)!/(2(k−2)!)=1/2 ((k+1)(k+2)−(k−1)k)=2k+1 52:40 Это теорема про то, что дифференцирование интеграла, зависящего от параметра, в некоторых ситуациях можно осуществлять под знаком интеграла, можно переставить предельные переходы. Если область интегрирования компактная, то это можно делать, когда частная производная по параметру подынтегральной функции непрерывна на области интегрирования. 1:15:00 Рассмотрим 0=u(x0)−1/ωnr^n ∫_Br u(x)dx=u(x0)/ωnr^n ∫_Br 1dx−1/ωnr^n ∫_Br u(x)dx=1/ωnr^n ∫_Br u(x0)−u(x)dx. Так как u(x0) максимум, то подынтегральное выражение u(x0)−u(x)≥0 в шаре Br. Предположим в точке x1 из шара u(x0)−u(x1)>ε>0, тогда по непрерывности в некоторой δ>0 окрестности u(x0)−u(x)>ε/2>0 для x из Bδ=||x−x1||<δ и значит 1/ωnr^n ∫_Br u(x0)−u(x)dx ≥ 1/ωnr^n ∫_Bδ u(x0)−u(x)dx > ε/2 1/ωnr^n ∫_Bδ 1dx=ε/2 δ^n/r^n>0, противоречие.