Математический анализ. Лекция 97

21:00 Пусть F из L1 и непрерывна в окрестности точки φ. Интеграл разбивается на два слагаемых
|U(r·exp(θ))−F(φ)|≤∫_(|t−φ|≤δ) Pr(t−θ)|F(t)−F(φ)|dt+∫_(|t−φ|≥δ) Pr(t−θ)|F(t)−F(φ)|dt, первый интеграл также оценивается ε с соответствующим δ из непрерывности F в точке φ.
Так как |φ−θ|≤δ/2 и |t−φ|≥δ, то |t−θ|=|t−φ+φ−θ|≥||t−φ|−|φ−θ||≥δ/2 и Pr(t−θ)≤Pr(δ/2)=(1−r^2)/(1+r^2−2r·cos(δ/2))≤( так как cos(δ/2)≥1−δ^2/8 )≤(1−r^2)/(1+r^2−2r(1−δ^2/8))=(1−r^2)/(1−2r+r^2+δ^2r/4)=(1+r)/(1−r+δ^2r/(4(1−r)))≤2/(δ^2r/(4(1−r)))=2(1/r−1)/δ^2, если r≥1/2, то Pr(t−θ)≤(1−r)4/δ^2
Теперь можно оценить второй интеграл малой величиной ε.
∫_(|t−φ|≥δ) Pr(t−θ)|F(t)−F(φ)|dt≤(1−r)4/δ^2 ∫_(|t−φ|≥δ) |F(t)−F(φ)|dt≤( так как M=2π|F(φ)|, ∫|F(t)−F(φ)|dt≤||F||_1+M )≤(1−r)4/δ^2(||F||_1+M) < ε при достаточно близких r к 1 такая оценка возможна.
Тем самым функция U(r·exp(θ)) имеет предел в точке exp(φ) равный F(φ).
31:30 Рассмотрим тот интеграл с ядром Пуассона как математическое ожидание случайной величины X(θ, t)=F(t−θ)−F(θ), E(X)=∫ Pr(t)X(θ, t)dt. При помощи неравенства Йенсена для выпуклой вниз функции φ можно доказать, что φ(E(X))≤E(φ(X)). Функция φ(x)=|x|^p выпукла вниз при p≥1, поэтому |E(X)|^p≤E(|X|^p), а это тоже самое, что |∫ Pr(t)(F(t−θ)−F(θ))dt|^p≤∫ Pr(t)|F(t−θ)−F(θ)|^p dt для любого θ. Интегрируя это неравенство получаем, что
∫|Fr(θ)−F(θ)|^p dθ=∫|∫ Pr(t)(F(t−θ)−F(θ))dt|^p dθ ≤ ∫∫ Pr(t)|F(t−θ)−F(θ)|^p dtdθ=∫ Pr(t)(∫|F(t−θ)−F(θ)|^p dθ) dt
А теперь пусть φ(x)=||x||_p=p_√∫ |x|^p dθ, тоже выпуклый функционал.
Теперь ||Fr(θ)−F(θ)||_p=p_√∫|Fr(θ)−F(θ)|^p dθ=p_√∫|∫ Pr(t)(F(t−θ)−F(θ))dt|^p dθ ≤ ∫ Pr(t) p_√(∫|F(t−θ)−F(θ)|^p dθ) dt
59:00 В числителе забыли множитель 2r.