Математический анализ. Лекция 95

39:00 Когда угол α=∑_1^(n−1) αk−π(n−2) в формуле Кристоффеля Шварца второго рода неотрицательный, то он равен углу α∞=α в бесконечно удалённой вершине, соответствующей точке z=∞, а в случае α<0 интеграл сходится в z=an=∞ и многоугольник будет там иметь конечную вершину An≠∞ с углом αn=−α при ней, это будет функция ограниченного многоугольника с выполнением равенства ∑_1^n αk=π(n−2). То есть с помощью интеграла второго рода можно строить и ограниченные n-угольники. Дальше давайте в интеграле второго рода с 0 ≤ α ≤ 2π сделаем замену 1/(s−an)=t, an≠∞, ∫^z ...(1/t+an−ak)^(αk/π−1)...−dt/t^2= домножим и разделим на t/(an−ak) =∫^z ...(t−1/(ak−an))^(αk/π−1)...−Ct^(−∑αk/π+n−1)dt/t^2= ( обозначим a'k=1/(ak−an), C=∏(an−ak)^(αk/π−1), αn=−∑αk/π+n−2 ) = ∫^z ...(t−a'k)^(αk/π−1)...t^(αn/π−1)dt= сделаем замену t=t'−an, a"k=a'k+an = ∫^z ...(t'−a"k)^(αk/π−1)...(t'−an)^(αn/π−1)dt'. Мы получили формулу Кристоффеля Шварца первого рода для неограниченного многоугольника, где прообразом бесконечно удалённой вершины является точка an≠∞. Заметим, что в отличии от формулы ограниченного многоугольника, где все αk≥0, здесь αn=−α≤0 и поэтому интеграл имеет бесконечный рост в точке an. Соответственно если такой сомножитель (s−ak')^(αk'/π−1) с αk'≤0 , ak'≠∞ мы допустим в интеграле второго рода с α ≥ 0, то у нас получится неограниченный многоугольник с парой бесконечно удалённых вершин в точках ak' и ∞. Заменой переменных сведём его к первому роду и получим два неположительных угла αk'≤0 и αn≤0, то есть неположительных углов в формуле Кристоффеля Шварца первого и второго рода может быть несколько.
40:30 Если функция для внутренности многоугольника F(z)=∫^z (s−a1)^(α1/π−1)...(s−an)^(αn/π−1) ds , то для внешней части можно взять функцию F'(z)=∫^z (s−a1)^(−α1/π+1)...(s−an)^(−αn/π+1) ds/(s−i)^2(s+i)^2. Углы при вершинах ak многоугольников соответствующие α'k=2π−αk, α'k/π−1=−αk/π+1, но точки Ak будут отличаться по расположению. Так как ∑αk=π(n−2), то ∑α'k/π−n=n−∑αk/π=2 и чтобы интеграл сходился на бесконечности нужно добавить множитель 1/(s−i)^2(s+i)^2, который даст суммарную асимптотику ~1/s^2, к тому же в точке z=i будет простой полюс, то есть она отобразится в бесконечно удалённую точку. При обходе границы, у нас для внешних к многоугольнику точек w0 приращение аргумента очевидно равно нулю, но мы знаем, что внутри области верхней полуплоскости есть простой полюс в z=i, поэтому согласно принципа аргумента есть и ровно один ноль w0−F'(z0)=0, то есть отображение конформное.
Дробно линейное отображение w=(z−i)/(z+i) переводит верхнюю полуплоскость на внутренность единичного круга, а действительную прямую на окружность, обратное преобразование такое z=i(w+1)/(1−w), тогда F(z(w)) переводит единичную окружность в многоугольник, внешний или внутренний. Отображение круга на многоугольник можно задать непосредственно первой формулой, где точки ak какие-то заданные на единичной окружности, а z из круга. Вторая формула может быть такой F'(z)=∫^z (s−a1)^(α'1/π−1)...(s−an)^(α'n/π−1) ds/s^2 в предположении, что 0 переводится в ∞ и является простым полюсом. Наконец функция F'(1/z) имеет такой же вид и отображает внешность круга на внешность многоугольника.