Вариационное исчисление. Лекция 4

5:50 ⇒ продифференцируем по параметру λ при фиксированной ω выражение F(λω)-λF(ω), которое есть тождественный ноль, поэтому производная будет тоже ноль.
0=d/dλ (...) =<∇F, ω>-F(ω)=0,
следовательно F(ω)=<∇F, ω>

<=, подставим w=λω
F(λω)=<∇F, λω>=λ<∇F, ω>=λF(ω)

1:16:04 В формулу Остроградского ∫_Ω div u dv = ∫_∂Ω ds , подставим u=C∙φ(r), где C - вектор константа той же размерности что и r, а φ(r) - скаляр от радиус-вектора.
По свойствам дивергенции div [C∙φ(r)]=, поэтому
∫_Ω div C∙φ(r)dv = ∫_Ω dv = ∫_∂Ω ds = ∫_∂Ω ds = ∫_∂Ω φ(r) ds
то есть ∫_Ω dv = ∫_∂Ω φ(r) ds для любого C вектор константы.
Пусть φ(r)=f(r)∙g(r) и C=ei=(0,...,1,...,0), тогда
∫_Ω dv = ∫_Ω dv + ∫_Ω dv = ∫_∂Ω f(r)∙g(r) ds
∫_Ω g(r) dv = ∫_∂Ω f(r)∙g(r) ds - ∫_Ω f(r) dv
C=ei=(0,...,1,...,0)
∫_Ω g(r) ∂f(r)/∂xi dv = ∫_∂Ω f(r)∙g(r) ds - ∫_Ω f(r) ∂g(r)/∂xi dv

1:19:00 Ссылаемся на обобщённую теорему Стокса.
Теорема. Пусть S - ориентированная кусочно гладкая k-мерная компактная поверхность с краем ∂S, лежащая в области G⊂ℝ^n , в которой задана гладкая (k-1)-форма ω. Тогда имеет место соотношение
∫_S dω = ∫_∂S ω, в котором ориентация края ∂S берётся согласованной с ориентацией поверхности S.

В качестве S берём область Ω, k=n, в качестве гладкой (n-1)-формы ω берём ∑ (-1)^(i-1) ∙ ui(r) ∙ dx1∧...∧dx[i-1]∧dx[i+1]∧...∧dxn, а в качестве dω = ∑ ∂ui(r)/∂xi ∙ dx1∧...∧dx[i-1]∧dxi∧dx[i+1]∧...∧dxn

P.S. Это дубль комментария с youtube, где он невидим.