Математический анализ. Лекция 86

Уже почти как полгода смотрю ваши лекции. Всё очень нравится

1:16:00 Определение вычета в бесконечности не совпадает с тем, что я знаю. В нуле берут вычет не от f(1/z), а от −1/z^2 f(1/z), тогда это будет коэффициент −с_−1 из лорановского разложения функции f(z). Поэтому аналитическая функция в окрестности бесконечной точки может иметь, как ни странно, ненулевой вычет. Мотивации к такому определению, во-первых сумма вычетов по всем точкам, включая бесконечную, будет равна нулю. Во-вторых замену 1/z производят не в функции, а дифференциальной форме, то есть f(z)dz −−> f(1/z)d(1/z)=−f(1/z)/z^2dz1:16:00 Определение вычета в бесконечности не совпадает с тем, что я знаю. В нуле берут вычет не от f(1/z), а от −1/z^2 f(1/z), тогда это будет коэффициент −с_−1 из лорановского разложения функции f(z). Поэтому аналитическая функция в окрестности бесконечной точки может иметь, как ни странно, ненулевой вычет. Мотивации к такому определению, во-первых сумма вычетов по всем точкам, включая бесконечную, будет равна нулю. Во-вторых замену 1/z производят не в функции, а дифференциальной форме, то есть f(z)dz −−> f(1/z)d(1/z)=−f(1/z)/z^2dz

1:01:00 А вот как можно доказать основную теорему алгебры с использованием теоремы Руше. Вот у нас есть полином p(z)=a0z^n+...+an степени n, a0≠0, обозначим F(z)=a0z^n, G(z)=p(z)−a0z^n. |G(z)|<|F(z)| для точек вне некоторого радиуса |z|>R, такого что |G(z)| / |z|^n ≤ max|ak| n/ R < |a0|, то есть R > n max|ak|/|a0|. По теореме Руше полином p(z)=F(z)+G(z) имеет столько же нулей, что и F(z). А у последнего их n штук, ноль кратности n.

1:01:00 А вот как можно доказать основную теорему алгебры с использованием теоремы Руше. Вот у нас есть полином p(z)=a0z^n+...+an степени n, a0≠0, обозначим F(z)=a0z^n, G(z)=p(z)−a0z^n. |G(z)|<|F(z)| для точек вне некоторого радиуса |z|>R, такого что |G(z)| / |z|^n ≤ max|ak| n/ R < |a0|, то есть R > n max|ak|/|a0|. По теореме Руше полином p(z)=F(z)+G(z) имеет столько же нулей, что и F(z). А у последнего их n штук, ноль кратности n.