Математический анализ. Лекция 85

1:31:20 На самом деле ответ π/e.
∫exp(iz)/z dz, здесь полюс z=0 попадает на границу контура γ, а ∫exp(iz)/z dz по верхнему полукругу стремится к нулю при R→+∞. Если полюс z=0 вырезать маленьким полукругом, новый контур назвать γ`, то по нему интеграл ∫exp(iz)/z dz=0 и при R→+∞ в пределе интеграл по почти всей вещественной оси, плюс контур у ε-окрестности нуля, будет равен 0. Но в ε-окрестности нуля интеграл по полукругу в положительном направлении равен половине вычета в полюсе z=0.
∫_+ε exp(iz)/z dz=(1/2)2πi∙res_0( exp(iz)/z )=πi
Таким образом lim ∫_−∞^ε exp(ix)/x dx+∫_ε^+∞ exp(ix)/x dx+∫_−ε exp(iz)/z dz = 0 при ε→0
lim ∫_−∞^ε exp(ix)/x dx+∫_ε^+∞ exp(ix)/x dx = ∫_−∞^+∞ exp(ix)/x dx
lim ∫_−ε exp(iz)/z dz = −πi при ε→0
И значит ∫_−∞^+∞ exp(ix)/x dx − πi =0,
∫_−∞^+∞ exp(ix)/x dx = πi
Так как функция cos(x)/x нечётная, то ∫_−∞^+∞ cos(x)/x dx=0, поэтому i∫_−∞^+∞ sin(x)/x dx = πi
∫_−∞^+∞ sin(x)/x dx = π
∫_0^+∞ sin(x)/x dx = π/2