Математический анализ. Лекция 83

1:21:00 Для разреза (−∞, −1]∪[1, +∞) √ω^2−1=√ω−1√ω+1=W(r, φ), где ω=r∙exp(i∙φ)
Пусть теперь ω=1/z, в этом случае разрез для z [−1, 1] переходит в разрез (−∞, −1]∪[1, ∞) для ω.
Если z=r∙exp(i∙φ), то ω=1/r∙exp(−i∙φ), поэтому √ω−1√ω+1=√1/z−1√1/z+1=W(1/r, −φ).
√(1/z−1) ∙ √(1/z+1)=(√(1−z)/√z) ∙ (√(1+z)/√z)=√(z^2−1) / √(i∙z)^2=√(z^2−1) / (i∙z)=W(1/r, −φ)
Поэтому √(z^2−1)=i∙z∙W(1/r, −φ)=i∙r∙exp(i∙φ)∙W(1/r, −φ)=r∙exp(i∙(φ+π/2))∙W(1/r, −φ)=W^(r, φ).
Таким образом, если W(r, φ) функция для разреза (−∞, −1]∪[1, ∞), то W^(r, φ)=r∙exp(i∙(φ+π/2))∙W(1/r, −φ) будет функцией для разреза [−1, 1].
Пусть ω−1=r1∙exp(i∙φ1), ω+1=r2∙exp(i∙φ2), тогда √ω^2−1=√ω−1√ω+1=√r1∙√r2∙exp(i∙(φ1+φ2)/2).
1:04:00 Функция z=f(ω)=ω^2 голоморфная и при ω≠0, arg ω∈(0, π) она однолистная (биективная) с производной f`(ω)=2ω≠0, следовательно существует обратная ω=√z, которая тоже голоморфная с производной 1/f`(ω(z))=1/(2√z)≠0. Используется факт, что у однолистной голоморфной функции обратная тоже голоморфна.
44:40 |f(z)|^2=M^2 -- константа, f^~(z) -- комплексно сопряжённая функция к f(z). Если f(z) аналитическая, то f^~(z) антианалитическая.
0=∂/∂z log( |f(z)|^2 )=∂/∂z log( f(z)∙f^*(z) )=∂/∂z log( f(z))+∂/∂z log(f^*(z))=∂/∂z log( f(z))=f`(z)/f(z),
так как из-за антианалитичности ∂/∂z log(f^~(z))=0
Следовательно f`(z)=0 и f(z) -- константа. У аналитической функции, не равной тождественно константе, модуль тоже не равен константе.