Математический анализ. Лекция 78

37:40 Функция f называется полунепрерывной снизу, если множество f^−1(A), где A={y∈Y | y > a}, открыто для ∀a∈ℝ. И называется полунепрерывной сверху, если отрыт прообраз f^−1(B), где B={y∈Y | y < a}.
Если f(x) полунепрерывная снизу (сверху), то g(x)=−f(x) -- полунепрерывна сверху (снизу).
Функция f(x) будет полунепрерывной снизу, если нижний lim f(x)≥f(x0) пои x→x0 в каждой точке x0.
Сумма полунепрерывных снизу (сверху) функций снова полунепрерывна.
Для произвольной измеримой функции f(x) определим функцию f__(x), состоящую из нижних пределов функции f(x) в каждой точке. Очевидно она будет полунепрерывна снизу. Ещё определим функцию f^^(x), состоящую из верхних пределов и она будет полунепрерывна сверху. Определённые таким образом полунепрерывные функции вообще говоря могут принимать значения ±∞, так как f(x) была измерима, то прообразы f__^−1(−∞) и f^^^−1(+∞) измеримые множества.
A_n={ ω | f(ω)<−n }, B_n={ ω | f(ω)>n }, f__^−1(−∞)=⋂A_n=lim A_n, f^^^−1(+∞)=⋂B_n=lim B_n,
Теперь рассмотрим расширяющееся семейство множеств F_n={ ω | f^^(ω)−f__(ω)≥1/n } ∀n∈ℕ, так как h^^(x)=−f__(x), g(x)=f^^(x)−f__(x)=f^^(x)+h^^(x), то функция g(x) полунепрерывна сверху и следовательно каждое множество F_n замкнутое. Множество D= ∪F_n точек разрыва функции f(x) измеримо как счётное объединение замкнутых подмножеств. f__^−1(−∞)∈F_n, f^^^−1(+∞)∈F_n для ∀n∈ℕ