Алгебра. Лекция 41

1:12:30 Кватернион q=α+β∙i+γ∙j+δ∙k, матрицу нашёл:
( α, −β, −γ, −δ)
( β, α, −δ, γ)
( γ, δ, α, −β)
( δ, −γ, β, α)
Что-то искать руками определитель лень, матрица большая 4x4.
1:14:00 Произведение кватернионов гомоморфизм в кольцо матриц 4x4? Ну да, так и есть. Матрицы такого типа образуют подкольцо в кольце всех матриц 4x4. Рассмотрим кватернион q~, сопряжённый к q, тогда a=q∙q~=N(q)∈R. Матрица, которая соответствует кватерниону a есть единичная 4x4, умноженная на N(q)∙I, её определитель равен N(q)^4. Очевидно, что матрица Q` соответствующая кватерниону q~ есть транспонированная от матрицы Q, которая соответствует q. Q`=Q^t. Поэтому det(Q`)=det(Q), по свойству определителей det(Q∙Q`)=det(Q)∙det(Q`)=det(Q)^2=det(N(q)∙I)=N(q)^4.
⇒
det(Q)=N(q)^2
Пару слов про собственные числа. Пусть r собственный вектор q∙r=λ∙r, где λ∈R, (q−λ)∙r=0. Так как в теле кватернионов нет делителей нуля, то (q−λ)=0 при r≠0. Поэтому если кватернион q отличен от действительного числа, то у матрицы Q есть только комплексные собственные числа. Значит в нормальной жордановой форме на главной диагонали Q стоят комплексные собственные числа, попарно сопряжённые. Докажем, что они совпадают между собой. Перейдя в тот базис, где Q имеет диагональный вид, матрица Q`=Q^t тоже будет иметь диагональный вид с сопряжёнными собственными числами к числам Q. λm∙λ`m=N(q), λ`m=λm~ и λm=λn~ ⇒
λm~=λn и λm∙λn=N(q), где m и n номера взаимно сопряжённых в Q, Q` собственных чисел. Доказали, что сопряжённые собственные числа в произведении дают норму кватерниона. Можно доказать, что собственные числа кратностью 2. Овеществляя мы получим матрицу кватерниона с γ=δ=0, по главной диагонали будут размещаться два одинаковых блока с α, β, то есть кратность собственных чисел равна 2.
1:14:00 Это просто. Расцепим столбцы матрицы и составим из них башню из одного большого столбца длиной n^2, всего n столбцов, каждый из которых длиной n. Посмотрим на матрицу линейного оператора n^2 x n^2, соответствующую матрице a отображения nxn. Это блочно диагональная матрица, из nxn блоков, где по главной диагонали идут блоки n копий матрицы a nxn, блоки на остальных позициях нулевые. Матрицы сопряжения выглядят точно также, блочно диагональные в количестве n копий и соответствуют матрице nxn сопряжения q и q^-1.
1:16:40 Согласно принципу плотности диагональных матриц (принципу продолжения алгебраических тождеств), достаточно проверить только для диагональных матриц (диагонализируемых матриц после их сопряжения). Определитель не меняется после сопряжения для случая nxn, но очевидно он не меняется и в случае сопряжения n^2 x n^2, так как он сводится к сопряжению n копий блоков размера nxn, стоящих на главной диагонали матрицы n^2 x n^2. Ну вот, получили диагональную матрицу n^2 x n^2, её определитель есть произведение всех элементов на главной диагонали, но они разбиваются на n групп (сомножителей) главных диагоналей одинаковых блоков nxn, произведение элементов диагонали каждого блока равно det(a) поэтому произведение элементов всей диагонали равно определителю большой матрицы n^2 x n^2 и равно det(a)^n.
Вообще можно было бы не сводить матрицу к диагональному виду, а сослаться на такое свойство блочно диагональных матриц, что их определитель равен произведению определителей блоков. Но это неочевидно и так вышло, что это свойство мы получаем как следствие из вот этого доказанного утверждения про степень определителя матрицы a.

1:06:00 Поворот в n мерном пространстве задаётся матрицей, значит степеней свободы не больше n^2. Но матрицей не абы какой, а унитарной или ортогональной. А это значит, что появляются условия на коэффициенты матрицы, скалярные произведения столбцов на строки должны равняться либо 0, либо 1, точнее δ(i, j). Другими словами транспонированная матрица равна обратной. Это означает (n^2+n)/2 уравнений скалярных произведений столбцов на строки и поэтому степеней свободы будет, с учётом количества уравнений, n^2−(n^2+n)/2 = (n^2−n)/2 = n(n−1)/2.