Алгебра. Лекция 28

26:50 Матрица транспонированная если рассматривать отображение сопряжённого пространства именно как правый модуль. Пусть матрица отображения f равна A, w=Av, где v∈M и w∈N.
φ(w)=h^{T} ∙ w, где h^{T}∈N*, тогда φ∘f(v)=h^{T} ∙ Av=(h^{T}A)v=p^{T} ∙ v, где h^{T}A=p^{T}∈M*. Матрица A есть запись отображения сопряжённого пространства как левого модуля. После транспонирования p=A^{T}h матрица будет соответствовать линейному отображению правого модуля.
54:00 Пусть штрихованный базис это новый. A — матрица перехода от нового к старому, т. е. при умножении на неё вектора в новом базисе можно получить координаты в старом. B — матрица перехода в двойственном пространстве.
δij=f`i( e`j )=f`i( a1j∙e1+...+anj∙en )=[b1i∙f1+...+bni∙fn] ( a1j∙e1+...+anj∙en ) если раскрыть скобки и учесть δij=fi( ej ) , то это будет равно, если переписать в матричном виде
B^{T}A=I, после транспонирования A^{T}B=I и окончательно B=( A^{T} )^{-1}
Здесь предполагается, что все матрицы есть переход (линейные операторы) на правых модулях.