Алгебра. Лекция 18

28:40 Поле F_pm содержит F_pn в качестве подполя тогда и только тогда, когда n|m.
Доказательство. ⇒ Поле F_pm содержащее подполе F_pn=F^ можно рассматривать как векторное пространство над F^ конечной размерности k, поэтому p^m=(p^n)^k и m=n∙k, n|m.
⇐ Пусть n|m, докажем тогда, что f(x)=x^pn−x делит g(x)=x^pm−x. В этом случае корни f(x) будут также корнями g(x) и поэтому элементы поля F_pn будут подмножеством (подполем) в F_pm, так как элементы полей являются корнями соответствующих многочленов.
Воспользуемся формулой z^k−1=(z−1)∙(z^{k−1}+...+z+1)=(z−1)∙h_k(z).
Тогда p^m−1=(p^n)^k−1= { обозначим z=p^n } =(p^n−1)∙h_k(p^n)=(p^n−1)∙d,
откуда g(x)=x^pm−x=x∙(x^{pm−1}−1)=x∙((x^{pn−1})^d−1)= { обозначим z=x^{pn−1} } =
=x∙(x^{pn−1}−1)∙h_d(x^{pn−1})=(x^pn−x)∙H(x)=f(x)∙H(x), следовательно f(x)|g(x).
31:00 Любой многочлен над F раскладывается на линейные множители с корнями из Ω, так как оно алгебраически замкнуто, но очевидно каждый этот корень является алгебраическим числом над F, следовательно содержится в F с чертой, значит многочлен действительно раскладывается.