Алгебра. Лекция 23

1:19:00 Обозначим элементы группы rk=r^k, где r — поворот на угол 2π/n и s — симметрия относительно вертикальной прямой. Остальные элементы sk=s∙rk. Элементы rk образуют абелеву подгруппу An, поэтому в ней каждый элемент сам себе сопряжён, когда мы не действуем на них отражениями sk. Применяя отражение относительно любой оси si из rk можно получить обратный к нему элемент si∙rk∙si=r^{−k}=r{n−k}=r{−k}, поэтому элементы rk и r{−k} сопряжены между собой и входят в один и тот же класс, для нечётного n таких классов (n+1)/2, для чётного n/2+1.
sk-ые при перемножении между собой попадают в подгруппу An si∙sj=s∙ri∙s∙rj=r{n−i}∙rj=r{j−i}, а сопряжённые sk остаются симметриями si∙sj∙si=s∙ri∙s∙rj∙s∙ri=s∙ri∙r{−j}∙ri=s∙r{−j+2i}=s{−j+2i},
ri∙sj∙r{−i}=ri∙s∙rj∙r{−i}=ri∙s∙r{j−i}=s∙s∙ri∙s∙r{j−i}=s∙r{−i}∙r{j−i}=s∙r{j−2i}=s{j−2i}, поэтому sk и rk не могут лежать в одном классе сопряжённости. Если n нечётное, то сдвиг {−2i}={n−2i} число нечётное и мы можем покрыть все нечётные позиции относительно j, а чётные позиции покрываются {+2i}, следовательно все sk лежат в одном классе. Пусть теперь n=2m чётное число, тогда {−2i}={n−2i}={2m−2i} тоже чётные сдвиги и они не покрывают собой нечётные позиции относительно j. (*)
Обозначим s` — симметрия относительно горизонтальной прямой, s`k=s`∙rk, для штрихованных s верны те же формулы, что и для просто s.
Верны также тождества:
s`∙s=s∙s`=r{n/2}=rm, s`k=s`∙rk=s∙s∙s`∙rk=s∙rm∙rk=s∙r{m+k}=s{m+k} и sk=s`{k−m}
si∙s`j=s`i∙sj=r{m+j−i}, s`i∙sj∙s`i=s{−j+2i}, si∙s`j∙si=s`{−j+2i}
Также как и раньше (sk, s`k) и rk не могут лежать в одном классе сопряжённости.
Так как s`=sm, то мы можем забыть про s` и рассматривать только нештрихованные симметрии. По предыдущему замечанию (*) отражения sk разбиваются на два класса сопряжённости с чётными и нечётными индексами k, потому что операция сопряжения чётность индекса не меняет. Сопряжения только поворотами rk очевидно тип симметрии s (штрихованный или нет) оставляет на месте, следовательно классы сопряжённости это и есть штрихованный и нештрихованный типы симметрии. Штрихованный класс соответствует чётности числа m=n/2.
Таким образом, общее число классов сопряжённых элементов в группе Dn при нечётном n равно (n+3)/2, а при чётном n оно равно n/2+3.