Алгебра. Лекция 36

1:20:00 1) В общем-то уже всё доказали. Пусть V линейное пространство размерности 2, нашли подходящие вектора e и f, надо проверить, что они линейно независимые. Пусть противное и f=a∙e, тогда B(e, f)=B(e, a∙e)=a∙B(e, e)=0, противоречие с B(e, f)=1. Раз e и f линейно независимые, то их можно принять за новый базис, а матрица перехода будет изометричным отображением в гиперболическую плоскость H.
2) Или можно по теореме Лагранжа сначала привести к диагональному виду с 1 и −1, а потом ортогональным преобразованием получить гиперболическую плоскость. Композиция этих отображений будет искомой изометрией.
1:22:50 Пусть в базисе e1, e2 матрица Грама равна
(1 0)
(0 −1)
За e и f возьмём √2e=e1+e2 и √2f=e1−e2, осталось выписать матрицу перехода, выражающую старый базис через новый и наоборот. Здесь B(e1, e1)=1, B(e2, e2)=−1 и B(e1, e2)=0.
Матрица перехода, выражающая новый базис через старый:
(1/√2 1/√2)
(1/√2 −1/√2)
Обратная матрица:
(1/√2 1/√2)
(1/√2 −1/√2)

1:04:15 Это неочевидно, что изометричные пространства это одно и тоже. Этим утверждением пользовались ешё при доказательстве теоремы Витта о продолжении.
Утверждение. V⊥U ≅ V`⊥U тоже самое, что одно пространство V одновременно представимое как W⊥U и W`⊥U`, где подпространство U изометрично U` с билинейной формой B(∙,∙) пространства V и изоморфизмом U`=φ(U) линейных пространств.
Доказательство. ⇒ Пусть в каком-то базисе e1,...,en пространства V⊥U форма U имеет матрицу Г, а в базисе f1,...,fn пространства V`⊥U форма U имеет ту же матрицу Г, обозначим F естественный изоморфизм fk+1=F(ek+1), ..., fn=F(en) между подпространствами U вообще говоря разных пространств, который базисные векторы переводит в базисные же. Так как матрица формы у них одинаковая, то это изометрия. Ввиду изометричности исходных пространств у нас есть изометрия ψ: V⊥U → V`⊥U. Обозначим U`=ψ^-1(U), это прообраз U из второго пространства в первое. Так как между разными подпространствами U двух пространств есть изометрия F, то можно записать так U`=ψ^-1(F(U))=φ(U), где φ=ψ^-1∘F и есть искомая изометрия между подпространствами U` и U в первом пространстве с билинейной формой B(∙,∙). (Можно было не говорить про матрицу Г, просто сказать, что формы одинаковые, а изоморфизм F переводит базис в базис. Но раз базис выбран, то матрицы Г у форм U будут одинаковые, а матрица Г* всего пространства будет блочно диагональная с, как минимум, двумя блоками)
⇐ Выберем базис e1,...,en пространства, в котором W⊥U и Г^ блочно диагональная. А в другом базисе f1,...,fn пространство будет W`⊥U` и Г^` тоже блочно диагональная. Вообще у этих двух представлений одного и того же пространства два разных базиса и разные матрицы Грама Г^ и Г^`, поэтому мы их можем считать разными пространствами, но они изометричны, потому что есть матрица перехода от базиса ei к базису fi. Так как U`=φ(U), между подпространством U и U' есть изометрия, то в U' можем выбрать базис так, что fk+1=φ(ek+1), ..., fn=φ(en). Такой выбор базиса гарантирует равенство матриц Г билинейных форм, отвечающих за подпространство U, а значит и самих форм. Значит мы построили искомую изометрию V⊥U ≅ V`⊥U. Пространство по сути одно и тоже, но представляется в разных базисах, поэтому можно считать матрицу перехода между базисами изометрией разных линейных пространств, у которых одинаковая форму U.