Алгебра. Лекция 34

15:30 Обозначили W все линейные формы g∈W, такие что g |_U =0. Тогда U*≃V*/W. Если обозначить V`=V*, а U`=W, то по уже доказанному (V`/U`)*→V`*=V*|*. Образ этого инъективного отображения есть множество W`⊂V*|*, так как V канонически вкладывается в V*|*, то можно считать W`⊂V. Вектора ∀v∈W`, такие что v |_U` =0, но U`=W, поэтому ∀v∈U условие выполнено и U⊂W`. Наоборот W`⊂U, пусть противное ∃u∈W` и u∉U, тогда найдётся h∈W, что (h)u=h(u)≠0 поэтому u∉W`, противоречие. Итак W`=U. Мы получили изоморфизм U→(V`/U`)* как обратное к инъективному отображению, определённый на U. Из U→(V`/U`)* можно получить инъекцию (V`/U`)*|*→U* или V`/U`→U* или V*/W→U*. Так как это ещё и сюръективное отображение (Почему?), то мы получили искомый изоморфизм U*≃V*/W.