Алгебра. Лекция 17

55:00 По формуле (a+b+c)^n=(по i+j+k=n)∑ n!/(i!∙j!∙k!) a^i∙b^j∙c^k при n=2m, a=√2, b=√3, c=√5, степень раскрывается в линейную комбинацию векторов Vs=N1,s∙1+N2,s∙√6+N3,s∙√10+N4,s∙√15 в базисе e1=1, e2=√6, e3=√10, e4=√15, где Nt∈ℤ некоторые целые числа и даже положительные. Если рассмотреть 5 таких векторов Vs, то они обязаны будут быть линейно зависимым в 4-ёх мерном пространстве. Тогда возьмём m=0,...,4 и коэффициенты линейной зависимости окажутся коэффициентами минимального многочлена.
m=0 : A0,
m=1 : A1(√2+√3+√5)^2=A1(10+2√6+2√10+2√15)
m=2 : A2(√2+√3+√5)^4=A2(224+80√6+64√10+56√15)
m=3 : A3(√2+√3+√5)^6=A3(6160+2448√6+1904√10+1584√15)
m=4 : A4(√2+√3+√5)^8=A4(176576+71680√6+55552√10+ 45568√15)
отсюда получаем систему уравнений

A0+10∙A1+224∙A2+6160∙A3+176576∙A4=0
0∙A0+2∙A1+80∙A2+2448∙A3+71680∙A4=0
0∙A0+2∙A1+64∙A2+1904∙A3+55552∙A4=0
0∙A0+2∙A1+56∙A2+1584∙A3+45568∙A4=0

решение A0 = 576∙A4, A1=−960∙A4, A2=352∙A4, A3=−40∙A4
пусть A4=1, тогда минимальный многочлен: 576−960x^2+352x^4−40x^6+x^8