Математический анализ. Лекция 66

15:00 Проверка неравенства Гёльдера для трёх функций f, g, h : |∫f∙g∙h dμ| ≤ ∫|f|∙|g|∙|h| dμ = ∫|fh|∙|g| dμ ≤ ≤ ({p`}_√∫|fh|^p`dμ) ∙ ({q`}_√(∫|g|^q` dμ), где 1/p` + 1/q` = 1. Рассмотрим отдельно ∫|fh|^p`dμ=∫|f|^p`∙|h|^p`dμ≤ ≤ ({s}_√∫|f|^{p`s}dμ) ∙ ({t}_√(∫|h|^{p`t} dμ), 1/s+1/t=1 подставим оценённый интеграл в исходное неравенство |∫f∙g∙h dμ| ≤ ({p`s}_√∫|f|^{p`s}dμ) ∙ ({p`t}_√(∫|h|^{p`t} dμ) ∙ ({q`}_√(∫|g|^q` dμ), где 1/{p`s} + 1/{p`t} + 1/{q`} = 1/p` (1/s + 1/t) + 1/q` = 1/p` + 1/q` = 1, обозначим p=p`s и r=p`t и q=q`.
Итого доказали |∫f∙g∙h dμ| ≤ ({p}_√∫|f|^{p}dμ) ∙ ({r}_√(∫|h|^{r} dμ) ∙ ({q}_√(∫|g|^q dμ)
47:50 функция fε мажорирует индикатор 1_F, но не 1_A, поэтому модуль убирать нельзя, интеграл надо брать от индикатора симметрической разности Fε ∆ A. И вообще fε можно попроще придумать, без ε окрестности множества F, например такую fε(x)=dist(x, CG) / (dist(x, F) + dist(x, CG)), где F⊂E⊂G, μ(G∖F)<ε. С такой функцией без компактности F думаю можно обойтись? Но всё равно, если хотим получить компактный носитель, то надо и F выбирать компактным.
1:05:00 Оператор сдвига в L^p непрерывен, 1:06:00 не используется непрерывность fε, так что можно fε заменить обратно на исходную f и сразу всё будет доказано со ссылкой на утверждение о непрерывности оператора сдвига. 1:12:40 стремится к нулю при h → 0, уже доказали непрерывность (fε∗g)(x) и одновременно (f∗g)(x). Зачем дальнейшие рассуждения, представим (f∗g)(x) как (f−fε)∗g + fε∗g? Уже всё доказали без помощи fε. Мудрёное вышло доказательство.