Математический анализ. Лекция 65

45:40 Ряды ∑pk и ∑qk можно интерпретировать как суммируемые семейства {pk} и {qk}, рассмотрим семейство {pi∙qj}, оно суммируемо и ∑ pi∙qj = (∑pk)∙(∑qk)=1. В суммируемом семействе мы можем переставлять как угодно слагаемые в сумме и группировать их в произвольное семейство подсумм. Пусть r_n=∑ pk∙q_{n−k}, r_n является подсуммой суммы ∑ pi∙qj поэтому r_n ≤ 1 ∀n∈ℤ и ∑r_n = ∑ ( ∑ pk∙q_{n−k} ) = ∑ pi∙qj =1. Следовательно свёртка μ∗ν({n})=r_n является мерой.
47:45 (⇐) μ∗ν(E)= ∬ 1_E (x+y) μ×ν(dxdy) = ∫ { ∫1_E (x+y) μ(dx) } ν(dy)= ∫ { ∫1_E (x+y) δ_{b}(dx) } ν(dy)=
=∫ 1_E (b+y) δ_{c}(dy) = 1_E (b+c)=1_E (a), следовательно μ∗ν(E)=δ_{a}(E)
(⇒) μ∗ν(E)= ∬ 1_E (x+y) μ×ν(dxdy) = ∫ μ(E−y) ν(dy)=∫ ν(E−x) μ(dx)
1=μ∗ν({a})=∫ μ(a−y) ν(dy) следовательно ∃ c, такое что μ(a−c)=μ({b}) > 0
пусть d≠a, 0=μ∗ν({d})=∫ ν(d−x) μ(dx) ≥ ∫_{b} ν(d−x) μ(dx)= ν(d−b)∙μ({b}) ≥ 0, следовательно ν(d−b)=0 или ν(y)=0 для ∀ y≠a−b=c
теперь 1=μ∗ν({a})=∫ ν(a−x) μ(dx)=ν(a−b) μ({b}), следовательно 1 / μ({b}) = ν({с}) > 0
пусть d≠a, 0=μ∗ν({d})=∫ μ(d−y) ν(dy) ≥ ∫_{c} μ(d−y) ν(dy) = μ(d−c) ν({c}) ≥ 0, следовательно μ(d−b)=0 или μ(x)=0 для ∀ x≠a−c=b и 1/ ν(с) = μ({b}) > 0
Окончательно используя условие нормировки μ(Ω) = ν(Ω) = 1 можно заключить,
что μ(dx)=δ_{b}(dx) и ν(dy)=δ_{c}(dy)