Математический анализ. Лекция 60

1:16:40 1) ess sup f = inf {...} = m, по определению инфинума
для ∀n∈ℕ ∃ F_n : m ≤ sup{f(ω)}_{ω∈F_n} < m+1/n и μ(Ω\F_n)=0.
Рассмотрим множество F∞=⋂F_k, k=1,...,∞, так как это множество есть счётное пересечение множеств из сигма-алгебры, то оно также принадлежит сигма-алгебре, выполнено μ(Ω\F∞)=0 и sup{f(ω)}_{ω∈F∞}=m.

Доказательство.
Пересекая F_n друг с другом, F'_n=⋂F_k, k=1,...,n можно добиться монотонного убывания последовательности F'_1⊃...⊃F'_n⊃F'_{n+1}⊃...⊃F∞.
μ(Ω\F∞)=μ(Ω\⋂F_k)=μ(∪(Ω\F_k) )=0, так как μ(Ω\F_k)=0 и счётное объединение множеств нулевой меры снова множество нулевой меры. Так как μ(Ω\F∞)=0, то отсюда сразу следует, что m=inf {...} ≤ sup{f(ω)}_{ω∈F∞}, докажем обратное неравенство.
Очевидно sup{f(ω)}_{ω∈F∞} ≤ ... ≤ sup{f(ω)}_{ω∈F'_{n+1}} ≤ sup{f(ω)}_{ω∈F'_n} < m+1/n ∀n∈ℕ, следовательно sup{f(ω)}_{ω∈F∞} ≤ m=inf {...} и равенство доказано.

2) Обозначим F1⊂Ω и F2⊂Ω множества на которых достигается ess inf и ess sup, по предыдущему 1) эти множества найдутся, тогда μ(Ω\F1)=μ(Ω\F2)=0 и верно неравенство ess inf f∙I_{F1}(ω) ≤ f(ω)∙I_{F1⋂F2}(ω) ≤ ess sup f∙I_{F2}(ω), где I_{F} — индикатор множества F. После взятия интеграла неравенство сохранится.
∫ ess inf f∙ I_{F1}(ω)dμ ≤ ∫f(ω)dμ ≤ ∫ ess sup f∙I_{F2}(ω)dμ
ess inf f∙ μ(F1) ≤ ∫f(ω)dμ ≤ ess sup f∙μ(F2)
Интеграл берётся по множеству полной меры (по Ω?), потому что μ(Ω\F1⋂F2)=μ(∪(Ω\F_k) )=0.

3) Для простых функций это так, очевидно, дальше переходим к пределу и линейность в пределе остаётся.

4) Видимо доказательство сразу следует из неравенства Чебышева. μ{ ω | f(ω)≥N } ≤ 1/N ∫f(ω)dμ, обозначим F_n={ ω | f(ω) ≥ n }, F∞=⋂F_k, k=1,...,∞, это монотонно убывающая последовательность множеств F_1⊃...⊃F_n⊃F_{n+1}⊃...⊃F∞.
Используя неравенство Чебышева и непрерывность меры можно показать, что μ(F∞)=0.