Математический анализ. Лекция 58

54:25 x∈y−E⊂E−E
Предложение 4, согласно предложению 3) 0∈E−E, потому что λ(EΔE)=λ(∅)=0<λ(E), а из предложения 2) по непрерывности h(x)=λ(EΔ(E+x)) следует, что вокруг 0 есть окрестность δ>0, что 0≤λ(EΔ(E+x'))<λ(E) при x'∈(-δ, δ).

1:11:50 Рассмотрим систему диадических кубов {Qij}
Qij=∏_k=1,...,n [j_k 2^-i, j_k 2^-i + 2^-i), где i∈ℕ, j∈ℤ^n
Нетрудно видеть, что система диадических кубов является полукольцом, состоящим из счётного числа элементов. Для ∀ i∈ℕ, ℝ^n=∪Qij по j∈ℤ^n
Возьмём произвольное открытое множество G, для ∀ x∈G существует B(x, ρx)⊂G, ρx>0. При √(n∙i^2)<ρx существует Qk_x=Qij_x ∋ x, так как объединение Qij по j даёт всё ℝ^n. Qk_x⊂B(x, ρx)⊂G для ∀ x, следовательно G=∪Qk_x есть счётное объединение по всем x∈G. Сигма-алгебра σ({Qij}) содержит все открытые множества, следовательно она содержит борелевскую сигма-алгебру. Продолжим меру μ с полукольца диадических кубов на сигма-алгебру измеримых по Лебегу множеств. Внешняя мера μ* совпадёт с мерами μ и λ на сигма-алгебре борелевских множеств, потому что μ(Qij)=λ(Qij), меры диадических кубов совпадают и потому что продолжение меры с полукольца единственно.