Математический анализ. Лекция 57

48:05 Есть теорема Безиковича о покрытии, о ней чуть позже, а вот следствие из теоремы такое.
Следствие из теоремы Безиковича. Пусть в каждой точке x измеримого X⊂R^d дан набор замкнутых шаров {B(x, r_t)}_t с центрами в x, радиусы которых {r_t} имеют сколь угодно малое ненулевое значение, иными словами inf {r_t} =0 и r_t>0. Тогда из всех этих шаров можно выбрать счётную систему попарно не пересекающихся шаров C={B(x_k, r_t_k)}_k, которая покрывает почти всё X, то есть μ(X \ ∪B(x_k, r_t_k))=0.
Мера μ предполагается борелевской и регулярной, μ(X)<∞.

Доказательство домашнего задания. Пусть X⊂R^d таково, что μ(X)<∞, η(X)<∞. Рассмотрим открытое множество G_ε, которое есть объединение открытых шаров {B(x, r_t)} с центрами в x∈X и радиусами r_t<ε. Последовательность G_{1/m}, ε=1/m убывающая и X=⋂G_{1/m}, из непрерывности мер lim μ(G_{1/m})=μ(X) и η(G_{1/m})=η(X) при m→∞.

Согласно следствию из теоремы Безиковича, для мер μ и η и множества G_{1/m}, ε=1/m в наборе замкнутых шаров {B(x, r_t)} с центрами в x и радиусами r_t<ε'=1/(m-1) найдётся счётное семейство C' дизъюнктных шаров, такое что μ(G_{1/m}\ ∪B(x_k, r_t_k))=0 . Существует n, такое что С'n=∪B(x_k, r_t_k), k=1,...,n и μ(G_{1/m} \С'n)<δ для произвольного δ>0, потому что последовательность множеств С'n ↑ возрастающая lim C'n = С' при n→∞, из непрерывности мер следует limμ(G_{1/m}\С'n)=μ(G_{1/m}\С')=0.
Та же оценка справедлива для меры η, верно η(G_{1/m}\С'n)<δ, это можно вывести из доказательства следствия теоремы Безиковича. Надо подумать над доказательством. (можно завести новую меру μ'= μ+η и применить к ней следствие из теоремы Безиковича) Такое конечное подсемейство С'n найдётся, что μ'(G_{1/m}\С'n)<δ, а значит это верно и для мер μ, η по отдельности.

Оценим |μ(G_ε)-η(G_ε)|=|μ(G_ε)-μ(С'n)+μ(С'n)-η(G_ε)|≤|μ(G_ε)-μ(С'n)| + |η(G_ε)-μ(С'n)|
Так как μ(С'n)=η(С'n), потому что С'n есть дизъюнктное объединение замкнутых шаров, то
|η(G_ε)-μ(С'n)|=|η(G_ε)-η(С'n)|≤max( η(G_ε\С'n), η(С'n\G_ε) )≤max( η(G_ε\С'n), η(G_ε'\G_ε) )<δ
Или |η(G_ε)-η(С'n)|<δ,
аналогично |μ(G_ε)-μ(С'n)|<δ.
Мы предполагаем, что ε и ε' выбраны так, что G_ε⊂G_ε' и η(G_ε'\G_ε)<δ, μ(G_ε'\G_ε)<δ.
Итого |μ(G_ε)-η(G_ε)|<2δ

Оценим |μ(X)-η(X)|=|μ(X)-μ(G_ε)+μ(G_ε)-η(G_ε)+η(G_ε)-η(X)|≤|μ(X)-μ(G_ε)|+|μ(G_ε)-η(G_ε)|+|η(G_ε)-η(X)|
Выберем ε=1/m, ε'=1/(m-1) так, чтобы одновременно |μ(G_ε)-η(G_ε)|<2δ, |μ(X)-μ(G_ε)|<δ и |η(G_ε)-η(X)|<δ, следовательно |μ(X)-η(X)|<4δ.
Так как число δ>0 было произвольным, следовательно мы доказали равенство μ(X)=η(X).

В общем случае, если X из произвольного метрического пространства, думаю аналогично можно доказать, если сослаться на теорему Витали, тогда мера μ предполагается не только борелевской и регулярной, но ещё должна удовлетворять условию удвоения: существует такое C > 0, что для любых x ∈ X и r > 0 верно, что µ(B(x, 2r)) ≤ Cµ(B(x, r)).

Теорема Витали. Пусть A ⊂ X содержится в открытом множестве
конечной меры. Тогда из любого покрытия A замкнутыми шарами можно выбрать дизъюнктный набор шаров. покрывающих A с точностью до меры 0.

Теорема Безиковича. Для любого натурального d существует такое натуральное M = M(d), что верно следующее. Пусть A ⊂ R^d — произвольное множество, и каждой точке x ∈ A сопоставлен замкнутый шар B(x, r) с центром в этой точке радиуса не больше L>0. Тогда можно выбрать не более чем счетный набор шаров {B(x_k, r_t_k)}_k, покрывающий A, и раскрасить их в M цветов так, что шары одного цвета попарно не пересекаются.

Доказательство следствия из теоремы Безиковича.
Согласно теореме Безиковича множество X можно покрыть счётным числом замкнутых шаров подсистемы C, которую можно раскрасить в конечное число M(d) цветов так, что шары одного цвета из C попарно не пересекаются. Тогда один из цветов будет покрывать не менее 1/M(d) от меры X. Для построения C можно использовать жадный алгоритм, который сводится к выбору на каждом шаге самого большого шара (точнее, близкому к супремуму) из тех шаров системы, центры которых не покрыты ранее выбранными шарами. Далее надо доказать, что в результате работы жадного алгоритма выбранный на некотором шаге шар пересекает не более M(d) - 1 предыдущих, для подходящей константы M(d), зависящей только от размерности.

Полезные ссылки.
1. Лемма Безиковича о покрытиях - http://ru.wikipedia.org/?oldid=85299521
2. Введение в геометрическую теорию меры - http://www.pdmi.ras.ru/~svivanov/gmt.pdf
3. http://dfgm.math.msu.su/files/ivanov-tuzhilin/2015-2016/GeomMeasureTheor...
4. http://people.cs.uchicago.edu/~const/di.pdf
5. http://aurora.asc.tuwien.ac.at/~funkana/downloads_general/sem_talebi.pdf