Алгебра. Лекция 5

4:10 Пусть в кольце S есть 1, обозначим 1'=φ^-1(1), предположим противное, что 1' не является единицей в кольце R. Это означает ∃ a∈R : a∙1'−a=b и b ≠ 0'.
Подействуем на равенство изоморфизмом φ.
φ(a∙φ^-1(1)−a)=φ(b)
φ(a)∙φ(φ^-1(1))−φ(a)=φ(b)
φ(a)∙1−φ(a)=φ(b)
φ(a)−φ(a)=φ(b), следовательно φ(b)=0=φ(0') и b ≠ 0', противоречие с инъективностью изоморфизма φ.