Алгебра. Лекция 37

53:00 Подполе неподвижных элементов F={α∈K | α~=α}. Рассмотрим F^={β∈K | β~=−β}, нетрудно показать, что это модуль над F какой-то размерности. Действительно (α∙β)~=α~∙β~=α∙β~=α∙(−β)=−(α∙β). Докажем, что размерность F^ как модуля над F не больше 1. Если F^={0}, то размерность 0, иначе ∃v∈F^ : v≠0 и мы можем построить гомоморфизм F → F^, β=α∙v, который очевидно имеет тривиальное ядро, поэтому инъективен. Покажем, что он сюръективен и, следовательно, является изоморфизмом. Пусть в F^ нашёлся другой w≠0, линейно независимый с v. Очевидно, что если β∈F^, то β^-1∈F^. Поэтому ∃w^-1∈F^ : w^-1∙w=1, тогда v=v∙1=v∙(w^-1∙w)=(v∙w^-1)∙w, где (v∙w^-1)≠0 и (v∙w^-1)∈F. γ=(v∙w^-1), 1∙v−γ∙w=0 Таким образом мы нашли нетривиальную линейную комбинацию независимых векторов. Противоречие. Значит существует обратный изоморфизм F^ → F, α=β∙v^-1, задаваемый v^-1.
Теперь любой элемент z∈K представим z=(1/2)(z+z~)+(1/2)(z−z~) или если обозначить α`=(1/2)(z+z~), β`=(1/2)(z−z~), то z=α`+β`, где α`∈F, β`∈F^. Осталось показать, что F⋂F^=0, поэтому такое представление единственно и является прямой суммой одномерных линейных над F подпространств.

1:16:00 Надо доказать, что H(u, u)=0 ∀u ⇒ H(u, v)=0 ∀u,v
H(x+y, x−y)=H(x,x)−H(x,y)+H(y,x)−H(y,y)=H(x,x)−H(y,y)−2∙i∙Im(H(x,y))
По формуле Эйлера H(x,y)=ρ∙exp(φ∙i), тогда Im(exp(−φ∙i)∙H(x,y))=0
exp(−φ∙i)∙H(x+y, x−y)=H(x+y, exp(−φ∙i)∙(x−y))=exp(−φ∙i)∙H(x, x)−exp(−φ∙i)∙H(y,y)
Пусть u=x+y, exp(φ∙i)∙v=x−y, тогда x=(1/2)(u+exp(φ∙i)∙v) и y=(1/2)(u−exp(φ∙i)∙v)
exp(−φ∙i)∙H(u, exp(φ∙i)∙v)=H(u, v)
H(u, v)=(1/4)exp(−φ∙i)∙H(u+exp(φ∙i)∙v, u+exp(φ∙i)∙v)−(1/4)exp(−φ∙i)∙H(u−exp(φ∙i)∙v, u−exp(φ∙i)∙v)
H(u, v)=(1/4)exp(−φ∙i)∙( H(u+exp(φ∙i)∙v, u+exp(φ∙i)∙v)−H(u−exp(φ∙i)∙v, u−exp(φ∙i)∙v) )
Так как H(u+exp(φ∙i)∙v, u+exp(φ∙i)∙v)=H(u−exp(φ∙i)∙v, u−exp(φ∙i)∙v)=0, то H(u, v)=0.

1:16:00 Надо доказать, что H(u, u)=0 ∀u ⇒ H(u, v)=0 ∀u,v
H(x+y, x−y)=H(x,x)−H(x,y)+H(y,x)−H(y,y)=H(x,x)−H(y,y)−2∙i∙Im(H(x,y))
По формуле Эйлера H(x,y)=ρ∙exp(φ∙i), тогда Im(exp(−φ∙i)∙H(x,y))=0
exp(−φ∙i)∙H(x+y, x−y)=H^(x+y, x−y)=exp(−φ∙i)∙H(x, x)−exp(−φ∙i)∙H(y,y)
Пусть u=x+y, v=x−y, тогда x=(1/2)(u+v) и y=(1/2)(u−v)
exp(−φ∙i)∙H(u, v)=H^(u, v)
exp(−φ∙i)∙H(u, v)=(1/4)exp(−φ∙i)∙H(u+v, u+v)−(1/4)exp(−φ∙i)∙H(u−v, u−v)
H^(u, v)=(1/4)( H^(u+v, u+v)−H^(u−v, u−v) )
Так как H^(u+v, u+v)=H^(u−v, u−v)=0, то H^(u, v)=0.
Из H^(u, v)=0 следует H(u, v)=0.