Квантовая теория поля как задача по теории операторов. Лекция 7

27:00 1) 30:00 Так как композиция унитарных операторов есть тоже унитарный оператор, то мы можем отдельно проверять на унитарность операции, соответствующие 4-мерным поворотам пространства Минковского и его параллельным сдвигам. Судя по определению оператора V(b; Λ), сначала производится поворот Λ, а потом сдвиг b. Оператор, соответствующий сдвигу, есть умножение функции p аргументов на экспоненту с мнимой единицей и суммой (∑kj)b. В скалярном произведении элементов гильбертова пространства, под каждым интегралом Лебега, появятся две такие экспоненты, одна из которых будет комплексно сопряжена с другой, поэтому вместе они дадут единицу и тем самым скалярное произведение не изменится, что доказывает унитарность этой операции. При повороте скалярное произведение тоже не меняется, потому что интеграл инвариантен относительно замены переменных, соответствующих преобразованию Лоренца.
2) 31:00 После действия V(b2; Λ2) аргумент экспоненты равен i(∑kj)b2, а после применения V(b1; Λ1) аргумент равен i( (∑kj)b1+(∑Λ1^−1kj)b2)=i( (∑kj)b1+(Λ1^−1∑kj)b2), но матрицу Λ1^−1 можно перекинуть на вектор b2, сохраняя псевдоскалярное произведение, с контравариантного вектора на ковариантный, обращение матрицы линейного отображения Λ^−1, действующего в основном векторном пространстве, приводит к матрице преобразования Λ в двойственном пространстве. Обозначим буквой G матрицу метрического тензора, тогда <Λ^−1k, b>_g=k^TΛ1^−1^T·G·b=k^T(Λ^−1^T·Λ^T)·G·Λb=k^T·G·Λb=_g.
В итоге получится i( (∑kj)b1+(∑kj)Λ1b2) или i(∑kj)(b1+Λ1b2), аргументы fp будут идти с матрицей Λ2^−1Λ1^−1kj, что соответствует действию V(b1+Λ1b2; Λ1Λ2).
3) 31:40 Тоже можно проверять отдельно повороты и сдвиги. При повороте Λ, φ(Λx), там будет интеграл по гиперболоиду K, рассмотрим отдельно часть пространства, соответствующую p частицам
Vφ(x)V^−1=V(a(k)exp(−ikx)+a+(k)exp(ikx))V^−1=
=V∫exp(−ikx)V^−1fp+1(...,kj,...)+exp(ikx)∑δ(k−kj)V^−1fp−1(^kj^)dμ(k)=
=V ∫exp(−ikx)fp+1(Λk, ..., Λkj, ...)dμ(k)+∫∑exp(ikx)δ(k−kj)fp−1(^Λkj^)dμ(k)=
=( в первом интеграле сделаем замену k'=Λk, во втором интеграле замена k=Λk' )=
=V ∫exp(−iΛ−1kx)fp+1(k, ..., Λkj, ...)dμ(k)+∑exp(iΛ−1kjx)fp−1(^Λkj^)=
=(перекинем в экспоненте Λ−1 и применим V)=
=∫exp(−ikΛx)fp+1(k, ..., ΛΛ−1kj, ...)dμ(k)+∑exp(ikjΛx)fp−1(^ΛΛ−1kj^)=( так как ΛΛ−1=E )=
=∫exp(−ikΛx)fp+1(k, ..., kj, ...)dμ(k)+∑exp(ikjΛx)fp−1(^kj^)=φ(Λx).
Теперь пространственные сдвиги. Если событие b времениподобное, то существует такая система отсчёта, в которой b есть сдвиг по времени, то есть начало отсчёта 0 и событие b происходят в одной точке пространства, но в разное время. Применим к φ сначала поворот Λ, соответствующий переходу в эту систему отсчёта, потом сдвиг по времени, он возможен по уже доказанному и в конце делаем обратный поворот Λ−1.
В итоге получается V=V(0; Λ^−1)V(t; I)V(0; Λ)=V(Λ^−1t; Λ^−1)V(0; Λ)=V(b; Λ^−1Λ)=V(b; I).
φ(b+x)=Uφ(Λb+Λx)U^−1=Uφ(t+Λx)U^−1=Uexp(itH)φ(Λx)exp(−itH)U^−1=
=Uexp(itH)U^−1φ(x)Uexp(−itH)U^−1=( обозначим V=Uexp(itH)U^−1 )=Vφ(x)V^−1.
V=Uexp(itH)U^−1=V(0; Λ^−1)exp(itH)V(0; Λ)=V(0; Λ^−1)exp(it(∑kj0))fp(...,Λ^−1kj,...)=
=exp(it(∑Λkj0))fp(...,Λ^−1Λkj,...)=exp(i(∑kj)Λ^−1t)fp(...,kj,...)=exp(i(∑kj)b)fp(...,kj,...)=V(b; I).
В том случае, когда событие b пространственноподобное, то существует система отсчёта, в которой b есть сдвиг по оси x, то есть начало отсчёта 0 и событие b происходят одновременно, но разделены по оси абсцисс расстоянием |dx|. Опять можем сделать поворот Λ для перехода в соответствующую систему отсчёта, но нужно ещё проверить, что сдвигу φ(dx+x) вдоль пространственной оси отвечает оператор V(dx; I)=exp(−idxP_x)=exp(−idx∑kj_x)fp(...,kj,...).
Ну а если b светоподобное, то его можно представить в виде суммы b=b_t+b_d сдвигов разных типов.