Квантовая теория поля как задача по теории операторов. Лекция 1

14:40 1) Известно, что проективное пространство ℝP^3 неориентированное многообразие, проективная плоскость ℝP^2 − тоже. Есть утверждение, что любое односвязное многообразие ориентируемо. Действительно, предположим многообразие не ориентируемо и рассмотрим какой-нибудь дезориентирующий цикл, то есть такой замкнутый путь, пройдя вдоль которого базис менялся бы непрерывным образом и в конце оказывался с противоположенной к начальному базису ориентацией. В односвязном пространстве мы любой замкнутый путь можем гомотетично стянуть в точку. Начнём стягивать цикл в точку, при этом очевидно он будет оставаться дезориентирующим, так как гомотетия будет сохранять ориентацию базисов в соответствующих точках. В какой-то момент цикл сможет поместиться в район действия одной карты, где невозможны дезориентирующие циклы. Получили противоречие. Итак, неориентируемое многообразие не может быть односвязным. Свойство односвязности сохраняется при гомеоморфизмах, поэтому если построить гомеоморфизм SO(3) c ℝP^3, тем самым мы докажем неодносвязность. Вспомним, что такое проективное пространство размерности 3, одно из представлений − это множество прямых, проходящих через начало координат в евклидовом пространстве ℝ^4. Установим непрерывное взаимно однозначное соответствие между поворотом в ℝ^3 и прямой из ℝ^4, вложим ℝ^3 в качестве линейного подпространства в ℝ^4, считаем четвёртую координату равной 0. Любой поворот в ℝ^3 можно идентифицировать некоторой осью вращения и углом φ∈[0, 2π). Рассмотрим двумерную плоскость в ℝ^4, проходящую через ось вращения и последний единичный орт e4 ортонормированного базиса, проведём в этой плоскости прямую с направляющим единичным вектором n, который получен путём поворота орта e4 в данной плоскости на угол φ. Тут правда возникает вопрос, в какую сторону вертеть вектор e4? У оси вращения тоже есть определённое направление, единичный вектор m, который определял поворот как правый винт (правило правой руки). Будем поворачивать e4 в сторону, ближайшую к вектору m, то есть положительное направление вращения то, при котором e4 поворачивается в m на угол меньший π. Гомеоморфизм построен, тождественный поворот в ℝ^3 соответствует прямой с направляющим вектором e4. Очевидно многообразие ℝP^3 может быть погружено в трёхмерную сферу S^3, сфера будет двулистным накрытием для проективного пространства и существует естественный гомеоморфизм ℝP^3 на профакторизованную сферу S^3/ℤ_2, на сферу с отождествлёнными диаметрально противоположенными точками. Также на такую факторизованную сферу могут быть гомеоморфно отображены кватернионы единичной нормы, а между единичными кватернионами ξ и поворотами в ℝ^3 существует гомеоморфизм: u↦ξuξ*, где u − чисто векторный кватернион, изоморфный векторам из ℝ^3, ξ* − сопряжённый кватернион. Таким образом, через промежуточное звено S^3/ℤ_2 может быть построен ещё один гомеоморфизм между SO(3) и ℝP^3.
16:20 2) Вот у нас есть матрица преобразования Лоренца L=l_i,j, l_00≥1, её нулевой столбец l0=l_i,0 псевдоскалярно умноженный на себя даёт единицу. 1=l_00^2−(l_10^2+l_20^2+l_30^2)=l_00^2(1−(l_10^2/l_00^2+l_20^2/l_00^2+l_30^2/l_00^2))=( обозначим γ=l_00, vj=l_j0/l_00, v^2=v1^2+v2^2+v3^2 )=γ^2(1−(v1^2+v2^2+v3^2)) ⇒ γ^2=1/(1−v^2). Используя заданные γ, vj построим матрицу буста и обратную к ней, обратная получается из исходной путём умножения нулевого столбца и нулевой строки на (−1), при этому у элемента 0,0 знак не поменяется, так как (−1)(−1)=1. Подействуем слева на матрицу L обратной матрицей буста, результат обозначим штрихом L', нулевой элемент равен l'_00=1, так как по сути это есть псевдоскалярное произведение нулевого столбца матрицы L на себя. Дальше элементы нулевой строки l'_0j=0, так как нулевой столбец L ортогонален к другим столбцам L относительно псевдоскалярного умножения. Элементы нулевого столбца l'_i0=0, так как (−1)-подправленные строки обратной матрицы или просто строки прямой матрицы, ортогональны нулевому столбцу L. Матрица буста так построена, что её строки ортогональны нулевому столбцу L относительно псевдоскалярного произведения. Таким образом матрица L' стала похожа на матрицу поворота, у неё в нулевом столбце и нулевой строке стоят нули кроме крайнего элемента, равного 1. L' тоже представляет собой собственное преобразование Лоренца, следовательно подматрица R сохраняет евклидово скалярное произведение в пространственной части пространства Минковского и не меняет ориентацию, следовательно R есть поворот.
32:00 Возьмём произвольное преобразование Лоренца L, 4-вектор x оно переводит в вектор y=Lx, векторам соответствуют эрмитовы матрицы Y, X, det(X)=det(Y)=d определитель равен псевдоевклидовой норме вектора. Любую эрмитову матрицу можно привести к диагональному виду при помощи унитарной: X=U·diag{x1, x2}·U*, Y=V·diag{y1, y2}·V*, d=x1x2=y1y2. Собственные числа x1,x2,y1,y2 у эрмитовых матриц вещественны. Обозначим D=diag{√y1/√x1, √y2/√x2}.
D·diag{x1, x2}·D=diag{y1, y2}
D(U*U)diag{x1, x2}(U*U)D=diag{y1, y2}
D·U*XU·D=diag{y1, y2}
V·D·U*XU·D·V*=V·diag{y1, y2}·V*
(VDU*)X(UDV*)=Y
Обозначим A=VDU*, det(A)=det(V)(√y1y2/√x1x2)det(U*)=1
Таким образом AXA*=Y и прообраз преобразования L найден. Очевидно матрица A'=−A=V·diag{−√y1/√x1, −√y2/√x2}U* тоже подходит как k(A')=L. Здесь мы предполагаем, что d≠0 и знаки собственных чисел x1 и y1 совпадают, если это не так, тогда дополнительно переставляем базисные вектора эрмитовой матрицей J={(0, 1), (1, 0)}, J·diag{x1, x2}·J=diag{x2, x1}, det(J)=−1. Если d=0, тогда не умаляя общности можно считать x1=y1=0 и есть два случая, первый x2=y2≠0, в качестве диагональной матрицы берём diag{√x2/√y2, √y2/√x2}, наконец если x2=y2=0, то диагональной матрицы нет или берём единичную.

Поправка. Также на трёхмерную сферу могут быть гомеоморфно отображены кватернионы единичной нормы, а между единичными кватернионами ξ и поворотами в ℝ^3 существует гомоморфизм: u↦ξuξ* с ядром ±1, где u − чисто векторный кватернион, изоморфный векторам из ℝ^3, ξ* − сопряжённый кватернион. Таким образом, через промежуточное звено S^3/ℤ_2 может быть построен ещё один гомеоморфизм между SO(3) и ℝP^3.

Продолжение.
Если d>0, то знаки x1, y1 совпадают. Действительно, знак первого собственного числа совпадает со знаком элемента матрицы в левом верхнем углу, а знак t+z не меняется при преобразованиях Лоренца. |t+z|≥||t|−|z||=|t|−|z|=(t^2−z^2)/(|t|+|z|)≥d/(|t|+|z|)>0 и значит сумма t+z при непрерывных преобразованиях с сохранением нормы d пройти через 0 никак не может. Этот элемент также выражается через собственные числа t+z=x1·|u1|^2+x2·|u2|^2, где u1,u2 координаты первой строки матрицы U, из этого равенства видно, что знаки собственных чисел совпадают со знаком t+z.
Если знаки не совпадают при d<0, тогда дополнительно переставляем базисные вектора унитарной матрицей J={(0, −1), (1, 0)}, J·diag{x1, x2}·J*=diag{x2, x1}, det(J)=1.
Если d=0, тогда не умаляя общности можно считать x1=y1=0 и при x2≠0, y2≠0 знаки x2, y2 совпадают, в качестве диагональной матрицы берём diag{√|x2|/√|y2|, √|y2|/√|x2|}, наконец при x2=y2=0 вектор и соответствующая матрица нулевые.
41:20 1) Известно, что унитарные матрицы сохраняют след матрицы, он равен t+z+t−z=2t, такое преобразование сохраняет время, следовательно группа SU(2, ℂ) отвечает пространственным поворотам и тем самым изоморфна кватернионам единичной длины. Из полярного разложения матриц можно сделать вывод, что бусту отвечают эрмитовы матрицы с определителем 1 и положительными собственными числами. Любую SL(2, ℂ) матрицу можно разложить в произведение A=UDV, где D − диагональная, U,V − унитарные. Буст раскладывается в B=U·diag{b1, b2}·U*, b1b2=1. То есть t'+z'=b1(t+z), t'−z'=b2(t−z), t'=t(b1+b2)/2+z(b1−b2)/2, z'=t(b1−b2)/2+z(b1+b2)/2, с другой стороны после поворота x=y=0, t'=γt+γvz, z'=γvt+γz, следовательно γ=(b1+b2)/2, γv=(b1−b2)/2, v=(b1−b2)/(b1+b2), 1−v^2=4b1b2/(b1+b2)^2=1/γ^2, 2γ=b1+b2, 2γv=b1−b2 ⇒ b1=γ(1+v), b2=γ(1−v).
Рассмотрим пространственный поворот на угол φ, оставляющий на месте t и z, поворот вокруг оси аппликат. В показательной форме комплексное число, соответствующее половине угла поворота ω=exp(iφ/2), матрица поворота на угол φ такая A={(ω*, 0), (0, ω)}={(exp(−iφ/2), 0), (0, exp(iφ/2))}. Существует изоморфизм между кватернионами и линейным пространством над ℝ { σ0, iσx, iσy, iσz } с базисом из произведения матриц Паули с мнимой единицей, 1↦σ0, i↦−iσx, j↦−iσy, k↦−iσz. Мы знаем, как выглядит единичный кватернион поворота на угол φ вокруг оси с направляющим вектором n=(nx, ny, nz), ξ=cos φ/2+sin φ/2(inx+jny+knz), с учётом изоморфизма кватернионов унитарная матрица поворота будет такая
A={(cos φ/2−isin φ/2 nz, −sin φ/2 ny−isin φ/2 nx), (sin φ/2 ny−isin φ/2 nx, cos φ/2+isin φ/2 nz)}.
Например мы хотим понять, как выглядит матрица A перестановки базисных векторов ez и ex. Это есть поворот вокруг оси n=(0, 1, 0) на угол φ=π/2. A={(√2/2, −√2/2), (√2/2, √2/2)}.
A·{(t+z, x−iy), (x+iy, t−z)}·A*={(√2/2(t+z)−√2/2(x+iy), √2/2(x−iy)−√2/2(t−z)), (√2/2(t+z)+√2/2(x+iy), √2/2(x−iy)+√2/2(t−z))}·A*={(t−x, z−iy), (z+iy, t+x)}={(t+(−x), z−iy), (z+iy, t−(−x))}.
48:00 SU(2) гомеоморфно некоторому подпространству { σ0, iσx, iσy, iσz }.
A={(a+ib, c+id), (−c+id, a−ib)}↦a·σ0+d·iσx+c·iσy+b·iσz и через композицию изоморфизма с кватернионами получается гомеоморфизм на множество кватернионов с единичной нормой.
A={(a+ib, c+id), (−c+id, a−ib)}↦a−di−cj−bk, a^2+d^2+c^2+b^2=1
А единичные кватернионы гомеоморфны S^3.

Продолжение.
Если d>0, то знаки x1, y1 совпадают. Действительно, знак первого собственного числа совпадает со знаком элемента матрицы в левом верхнем углу, а знак t+z не меняется при преобразованиях Лоренца. |t+z|≥||t|−|z||=|t|−|z|=(t^2−z^2)/(|t|+|z|)≥d/(|t|+|z|)>0 и значит сумма t+z при непрерывных преобразованиях с сохранением нормы d пройти через 0 никак не может. Этот элемент также выражается через собственные числа t+z=x1·|u1|^2+x2·|u2|^2, где u1,u2 координаты первой строки матрицы U, из этого равенства видно, что знаки собственных чисел совпадают со знаком t+z.
Если знаки не совпадают при d<0, тогда дополнительно переставляем базисные вектора унитарной матрицей J={(0, −1), (1, 0)}, J·diag{x1, x2}·J*=diag{x2, x1}, det(J)=1.
Если d=0, тогда не умаляя общности можно считать x1=y1=0 и при x2≠0, y2≠0 знаки x2, y2 совпадают, в качестве диагональной матрицы берём diag{√|x2|/√|y2|, √|y2|/√|x2|}, наконец при x2=y2=0 вектор и соответствующая матрица нулевые.
41:20 1) Известно, что унитарные матрицы сохраняют след матрицы, он равен t+z+t−z=2t, такое преобразование сохраняет время, следовательно группа SU(2, ℂ) отвечает пространственным поворотам и тем самым изоморфна кватернионам единичной длины. Из полярного разложения матриц можно сделать вывод, что бусту отвечают эрмитовы матрицы с определителем 1 и положительными собственными числами. Любую SL(2, ℂ) матрицу можно разложить в произведение A=UDV, где D − диагональная, U,V − унитарные. Буст раскладывается в B=U·diag{b1, b2}·U*, b1b2=1. То есть t'+z'=b1(t+z), t'−z'=b2(t−z), t'=t(b1+b2)/2+z(b1−b2)/2, z'=t(b1−b2)/2+z(b1+b2)/2, с другой стороны после поворота x=y=0, t'=γt+γvz, z'=γvt+γz, следовательно γ=(b1+b2)/2, γv=(b1−b2)/2, v=(b1−b2)/(b1+b2), 1−v^2=4b1b2/(b1+b2)^2=1/γ^2, 2γ=b1+b2, 2γv=b1−b2 ⇒ b1=γ(1+v), b2=γ(1−v).
Рассмотрим пространственный поворот на угол φ, оставляющий на месте t и z, поворот вокруг оси аппликат. В показательной форме комплексное число, соответствующее половине угла поворота ω=exp(iφ/2), матрица поворота на угол φ такая A={(ω*, 0), (0, ω)}={(exp(−iφ/2), 0), (0, exp(iφ/2))}. Существует изоморфизм между кватернионами и линейным пространством над ℝ { σ0, iσx, iσy, iσz } с базисом из произведения матриц Паули с мнимой единицей, 1↦σ0, i↦−iσx, j↦−iσy, k↦−iσz. Мы знаем, как выглядит единичный кватернион поворота на угол φ вокруг оси с направляющим вектором n=(nx, ny, nz), ξ=cos φ/2+sin φ/2(inx+jny+knz), с учётом изоморфизма кватернионов унитарная матрица поворота будет такая
A={(cos φ/2−isin φ/2 nz, −sin φ/2 ny−isin φ/2 nx), (sin φ/2 ny−isin φ/2 nx, cos φ/2+isin φ/2 nz)}.
Например мы хотим понять, как выглядит матрица A перестановки базисных векторов ez и ex. Это есть поворот вокруг оси n=(0, 1, 0) на угол φ=π/2. A={(√2/2, −√2/2), (√2/2, √2/2)}.
A·{(t+z, x−iy), (x+iy, t−z)}·A*={(√2/2(t+z)−√2/2(x+iy), √2/2(x−iy)−√2/2(t−z)), (√2/2(t+z)+√2/2(x+iy), √2/2(x−iy)+√2/2(t−z))}·A*={(t−x, z−iy), (z+iy, t+x)}={(t+(−x), z−iy), (z+iy, t−(−x))}.
48:00 SU(2) гомеоморфно некоторому подпространству { σ0, iσx, iσy, iσz }.
A={(a+ib, c+id), (−c+id, a−ib)}↦a·σ0+d·iσx+c·iσy+b·iσz и через композицию изоморфизма с кватернионами получается гомеоморфизм на множество кватернионов с единичной нормой.
A={(a+ib, c+id), (−c+id, a−ib)}↦a−di−cj−bk, a^2+d^2+c^2+b^2=1
А единичные кватернионы гомеоморфны S^3.