Решетки Нимейера и автоморфные формы. Лекция 1

Существует всего одна четная унимодулярная положительно определенная решетка ранга 8 — решетка E_8. В размерности 16 их уже две: 2Е_8 и D_{16}^+. В размерности 24 можно построить ровно 24 четных унимодулярных решетки. Этот факт былустановленнемецким математиком Niemeier’ом в 1973 году. В 1979 году замечательный петербургский математик Борис Борисович Венков предложил элегантное автоморфное доказательство результата Нимейера, которое сильно повлияло на дальнейшее развитие теории квадратичных форм.

В первой части курса мы разберем конструкции решеток Нимейера, используя технику корневых решеток A_n и D_n (хорошо известных из теории алгебр Ли) вместе с теорией конечных квадратичных дискриминантных форм. Единственная бескорневая унимодулярная решетка ранга 24, решетка Лича, является одним из самых интересных комбинаторных и геометрических объектов современной математики. С ней связаны простые группы Матьё и Конвея, коды Голея, системы Штайнера, наиплотнейшая упаковка шарами 24-x мерного евклидова пространства (2016), функция Борчердса Ф_{24}, Fake Monster Lie Algebra.

Во второй части курса мы дадим краткое введение в теорию модулярных форм и форм Якоби от многих переменных в контексте теории целочисленных квадратичных форм.

Заключительным примером будет автоморфное произведение Борчердса Ф_{24}, объединяющее все решетки Нимейера в рамках «простейшей» автоморфной функции от 26 переменных. Это будет приглашением в теорию аффинных и лоренцевых алгебр Каца-Муди.