Математический анализ. Лекция 90

1:10:30 Я так понимаю усиление теоремы Лиувилля сделать не получится. Это задача на построение контр-примера. Первым шагом надо построить функцию f(z), определённую на верхней комплексной полуплоскости Im z ≥ 0, которая на действительной оси будет принимать значения из множества действительных чисел и для z=x+iy, y=π/2 + c будет выполнена оценка |f(z)| ≤ 1/c. То есть для всех z с Im z ≥ π функция f(z) по модулю будет ограничена единицей.
Определим такую функцию: f(z) = 0_ ∫ _∞ exp(z∙t) / t^t dt
Интеграл сходится абсолютно, для z c Im z =0 принимает действительные значения и f(z) является голоморфной функцией, так как ∫ f(z) dz по любому прямоугольному контуру равен нулю. Доказывается просто, надо в двойном интеграле ∫ dz ∫ exp(z∙t) / t^t dt поменять порядок интегрирования, интеграл ∫ exp(z∙t) / t^t dz=0, так как подынтегральная функция голоморфна и внешний интеграл от нуля тоже будет нулевой.
Проведём оценку функции f(z). Рассмотрим интеграл ∫ exp(z∙ξ) / ξ^ξ dξ по замкнутому контуру в первой четверти, проходящему по отрезку [ε, R] действительной оси, потом по четверти окружности C_R с радиусом R, по мнимой оси [iε, iR] и наконец по четверти окружности C_ε с радиусом ε. Так как F(ξ)=exp(z∙ξ) / ξ^ξ функция аналитическая в области, ограниченной контуром, то ∫ exp(z∙ξ) / ξ^ξ dξ=0 при любых ε>0 и R>0.
0 = ∫ exp(z∙ξ) / ξ^ξ dξ = [ε, R]_ ∫F(t)dt + C_R_ ∫F(ξ)dξ + [iε, iR]_ ∫F(t)dt + C_ε_ ∫F(ξ)dξ
Функция F(ξ) ограничена в окрестности нуля и имеет предел lim exp(z∙ξ) / ξ^ξ=1 при ξ→0.
Ввиду ограниченности lim C_ε_ ∫F(ξ)dξ = 0 при ε→0, можно доказать, что lim и C_R_ ∫F(ξ)dξ = 0 при R→+∞.
Поэтому f(z) = 0_ ∫ _∞ exp(z∙t) / t^t dt = lim [ε, R]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt = − lim [iε, iR]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt при ξ→0, R→+∞.
[iε, iR]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt = i∙[iε, iR]_ ∫exp(z∙iy) / (iy)^(iy) dy ≤ 0_ ∫ _∞ | exp(z∙iy) / (iy)^(iy) | dy
Если Im z = π/2 + c, то | exp(z∙iy) / (iy)^(iy) | = ... =exp(−c∙y), то
[iε, iR]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt ≤ 0_ ∫ _∞ exp(−c∙y) dy = 1/c и значит выполнена оценка |f(z)| ≤ 1/c.
Вторым шагом распространим нашу функцию f(z) на нижнюю полуплоскость, пусть для z c Im z < 0 f(z)=сопряжённая f(сопряжённая z). Таким образом функция f(z) теперь определена на всей плоскости и поэтому она целая. Вне узкой полосы, для всех z с | Im z | ≥ π функция f(z) по модулю ограничена единицей и она не является константой. Линейным преобразованием z=A∙w+B полосу в плоскости W можно сделать поуже, можно повернуть и сдвинуть её параллельным переносом. Можно добиться, чтобы функция принимала ноль в нуле, что позволит разделить её на z оставив целой. F(z)=(f(z)−f(0))/z.

P. S. Я не придумал такого преобразования, которое полуполосу переводило в полосу и оставляло при этом функцию f(z) целой. Именно для полуполосы я контр-примера не построил, но уверен, что такой контр-пример существует. Напишите пожалуйста в комментариях контр-пример, если его встречали или построили.