Математический анализ. Лекция 90

1:10:30 Я так понимаю усиление теоремы Лиувилля сделать не получится. Это задача на построение контр-примера. Первым шагом надо построить функцию f(z), определённую на верхней комплексной полуплоскости Im z ≥ 0, которая на действительной оси будет принимать значения из множества действительных чисел и для z=x+iy, y=π/2 + c будет выполнена оценка |f(z)| ≤ 1/c. То есть для всех z с Im z ≥ π функция f(z) по модулю будет ограничена единицей.
Определим такую функцию: f(z) = 0_ ∫ _∞ exp(z∙t) / t^t dt
Интеграл сходится абсолютно, для z c Im z =0 принимает действительные значения и f(z) является голоморфной функцией, так как ∫ f(z) dz по любому прямоугольному контуру равен нулю. Доказывается просто, надо в двойном интеграле ∫ dz ∫ exp(z∙t) / t^t dt поменять порядок интегрирования, интеграл ∫ exp(z∙t) / t^t dz=0, так как подынтегральная функция голоморфна и внешний интеграл от нуля тоже будет нулевой.
Проведём оценку функции f(z). Рассмотрим интеграл ∫ exp(z∙ξ) / ξ^ξ dξ по замкнутому контуру в первой четверти, проходящему по отрезку [ε, R] действительной оси, потом по четверти окружности C_R с радиусом R, по мнимой оси [iε, iR] и наконец по четверти окружности C_ε с радиусом ε. Так как F(ξ)=exp(z∙ξ) / ξ^ξ функция аналитическая в области, ограниченной контуром, то ∫ exp(z∙ξ) / ξ^ξ dξ=0 при любых ε>0 и R>0.
0 = ∫ exp(z∙ξ) / ξ^ξ dξ = [ε, R]_ ∫F(t)dt + C_R_ ∫F(ξ)dξ + [iε, iR]_ ∫F(t)dt + C_ε_ ∫F(ξ)dξ
Функция F(ξ) ограничена в окрестности нуля и имеет предел lim exp(z∙ξ) / ξ^ξ=1 при ξ→0.
Ввиду ограниченности lim C_ε_ ∫F(ξ)dξ = 0 при ε→0, можно доказать, что lim и C_R_ ∫F(ξ)dξ = 0 при R→+∞.
Поэтому f(z) = 0_ ∫ _∞ exp(z∙t) / t^t dt = lim [ε, R]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt = − lim [iε, iR]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt при ξ→0, R→+∞.
[iε, iR]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt = i∙[iε, iR]_ ∫exp(z∙iy) / (iy)^(iy) dy ≤ 0_ ∫ _∞ | exp(z∙iy) / (iy)^(iy) | dy
Если Im z = π/2 + c, то | exp(z∙iy) / (iy)^(iy) | = ... =exp(−c∙y), то
[iε, iR]_ ∫exp(z∙t) / t^t dt ≤ 0_ ∫ _∞ exp(−c∙y) dy = 1/c и значит выполнена оценка |f(z)| ≤ 1/c.
Вторым шагом распространим нашу функцию f(z) на нижнюю полуплоскость, пусть для z c Im z < 0 f(z)=сопряжённая f(сопряжённая z). Таким образом функция f(z) теперь определена на всей плоскости и поэтому она целая. Вне узкой полосы, для всех z с | Im z | ≥ π функция f(z) по модулю ограничена единицей и она не является константой. Линейным преобразованием z=A∙w+B полосу в плоскости W можно сделать поуже, можно повернуть и сдвинуть её параллельным переносом. Можно добиться, чтобы функция принимала ноль в нуле, что позволит разделить её на z оставив целой. F(z)=(f(z)−f(0))/z.

P. S. Я не придумал такого преобразования, которое полуполосу переводило в полосу и оставляло при этом функцию f(z) целой. Именно для полуполосы я контр-примера не построил, но уверен, что такой контр-пример существует. Напишите пожалуйста в комментариях контр-пример, если его встречали или построили.

А может быть эта функция f(z) в левой полуполосе | Im z | < π и Re(z) < 0 ограничена? То есть найдётся такая константа M, что f(z)≤M при | Im z | < π и Re(z) < 0. Рассмотрим exp(z∙t) в точках полосы слева вне некоторого радиуса R, Re(z) < −R, exp(z∙t)=exp( −Rt (cos(φ)+i sin(φ)) ).
При достаточно больших R угол φ, между осью абсцисс и лучом от начала координат до пересечения окружности радиуса R с границей полосы, стремится к нулю при R→+∞, поэтому мы можем заменить тригонометрические функции линейной частью с точностью до бесконечно малых величин относительно φ. Угол φ < C/R, o(φ)=o(1/R), R0 при достаточно малых φ и больших R.
exp(−Rt (cos(φ)+i sin(φ)))=exp(−Rt (1+i φ+o(φ)))=exp(−Rt)exp(−iRtφ)exp(−Rt o(φ)),
следовательно |exp(z∙t)|≤|exp(−Rt)| |exp(−iRt φ)| |exp(−Rt o(φ))|≤exp(t R|o(1/R)|)=exp(tε)≤exp(t) при ε=1
|f(z)| = |0_ ∫ _∞ exp(z∙t) / t^t dt| ≤ 0_ ∫ _∞ |exp(z∙t)| / t^t dt ≤ 0_ ∫ _∞ exp(t) / t^t dt=M≈6.3998
Функция f(z) вне сектора угла 2φ радиуса R далее влево по полосе ограничена константой M, вне полосы функция ограничена 1, на компактном множестве части левой полуполосы в круге R непрерывная функция тоже ограничена. Тогда f(z)/M ограничена 1 везде, кроме правой полуполосы | Im z | < π и Re(z)≥0, что мы и хотели.
Заметим, что по теореме Фрагмена-Линделефа у такой функции не может быть рост конечного порядка. Рассмотрим функцию g(z)=f(z−2πi), очевидна она ограничена на каждом луче, выходящем из начала координат. Используя теорему Фрагмена-Линделефа можно доказать, что для любых констант A и B найдётся z, такая что |g(z)|>A exp(|z|^B).
Теорем Фрагмена-Линделефа Пусть аналитическая функция f(z) определена внутри угла с раствором D={ |Arg(z)|≤α/2 }. Если функция ограничена |f(z)|≤1 на границе ∂D и для ∀ε>0 ∃A_ε : |f(z)|≤A_ε exp(ε|z|^(π/α)), тогда функция ограничена 1 везде в D.
Предположим нашлись A,B, что для ∀z |g(z)|≤A exp(|z|^B), разрежем комплексную плоскость на углы с раствором α<π/B конечным числом лучей, на каждом луче функция f(z) ограничена, по теореме Фрагмена-Линделефа функция ограничена внутри каждого угла и следовательно на всей комплексной плоскости, по теореме Лиувилля функция есть константа, противоречие.