Математический анализ. Лекция 88

48:20 У нас B∪{0} замкнутое и ограниченное множество, но в бесконечномерном функциональном пространстве этого недостаточно для его компактности. В конечномерном пространстве оно конечно было бы компактным. Компактным в смысле того, что из любой последовательности его элементов можно выделить сходящуюся подпоследовательность.
49:10 Почему семейство B∪{0} компактно? Можно сослаться на теорему Арцела Асколи или непосредственно доказать, что любая последовательность функций на компактах имеет сходящуюся подпоследовательность. Теорема утверждает, что всякое семейство функций, заданных на компакте и являющееся подмножеством полного метрического пространства, в данном случае пространства непрерывных функций, будет предкомпактным тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно. Равномерная ограниченность у нас есть, надо доказать равностепенную непрерывность семейства, тогда согласно теореме будет предкомпактность, а так как B∪{0} замкнутое множество, то и компактность.
Рассмотрим две точки произвольного компакта z1, z2∈K, оценим разность |fn(z2)−fn(z1)|≤max |fn'(ξ)| |z2−z1|, где максимум берётся по точкам ξ отрезка прямой, соединяющей точки z1,z2. Так как производные функций тоже равномерно ограничены на K, то max |fn'(ξ)|r>0 с центром в нуле Br⊂G содержится в области, рассмотрим семейство f^(z)=f(zr), полученное из элементов f(z)∈B. Аналитические функции f^(z) удовлетворяют условиям леммы Шварца f^(0)=0, |f^(z)|<1 для |z|<1, поэтому по лемме |d/dz f^(0)|≤1 или |f'(0)r|≤1, |f'(0)|≤1/r, m=1/r.
Лемма Шварца. Если аналитическая в круге |z|<1 функция w=f(z) удовлетворяет условиям f(0)=0, |f(z)|<1, то справедливы неравенства |f(z)|≤|z|, |f'(0)|≤1. Если равенство |f(z)|=|z| выполняется хотя бы в одной точке z=z0≠0, |z0|<1, или |f'(0)|=1, то f(z)=exp(iα)z - поворот на угол α.

, то max

, то max меньше M, |fn(z2)−fn(z1)| ≤ M |z2−z1| для ∀n и |fn(z2)−fn(z1)|<ε при |z2−z1|<δ, δ=ε/M. То есть из равномерной ограниченности производных действительно следует равностепенная непрерывность.

50:30 Тут понятно функционал J(f) ограничен как непрерывный образ компактного множества и мы знаем что sup J(f)≥1, но можно указать верхнюю грань m, что sup J(f) ≤ m. Предположим круг радиуса 1>r>0 с центром в нуле Br⊂G содержится в области, рассмотрим семейство f^(z)=f(zr), полученное из элементов f(z)∈B. Аналитические функции f^(z) удовлетворяют условиям леммы Шварца f^(0)=0, |f^(z)|<1 для |z|<1, поэтому по лемме |d/dz f^(0)|≤1 или |f'(0)r|≤1, |f'(0)|≤1/r, m=1/r.
Лемма Шварца. Если аналитическая в круге |z|<1 функция w=f(z) удовлетворяет условиям f(0)=0, |f(z)|<1, то справедливы неравенства |f(z)|≤|z|, |f'(0)|≤1. Если равенство |f(z)|=|z| выполняется хотя бы в одной точке z=z0≠0, |z0|<1, или |f'(0)|=1, то f(z)=exp(iα)z - поворот на угол α.

50:30 Тут понятно функционал J(f) ограничен как непрерывный образ компактного множества и мы знаем что sup J(f)≥1, но можно указать верхнюю грань m, что sup J(f) ≤ m. Предположим круг радиуса 1>r>0 с центром в нуле Br⊂G содержится в области, рассмотрим семейство f^(z)=f(zr), полученное из элементов f(z)∈B. Аналитические функции f^(z) удовлетворяют условиям леммы Шварца f^(0)=0, |f^(z)|<1 для |z|<1, поэтому по лемме |d/dz f^(0)|≤1 или |f'(0)r|≤1, |f'(0)|≤1/r, m=1/r.
Лемма Шварца. Если аналитическая в круге |z|<1 функция w=f(z) удовлетворяет условиям f(0)=0, |f(z)|<1, то справедливы неравенства |f(z)|≤|z|, |f'(0)|≤1. Если равенство |f(z)|=|z| выполняется хотя бы в одной точке z=z0≠0, |z0|<1, или |f'(0)|=1, то f(z)=exp(iα)z - поворот на угол α.

1:12:20 Всё что вне шарика на самом деле отображается в неограниченное множество, но ничего страшного в этом нет, это множество лежит в правой полуплоскости и с нашими левыми полосами не пересекается.
1:24:40 Производная функции φ'(z) ограничена и не обращается в ноль на комплексной плоскости, значит по теореме Лиувилля φ'(z)=const, φ'(z)=a≠0, следовательно φ(z)=az+b. Почему производная φ(z) ограничена? Предположим φ'(z) не ограничена на бесконечности, но производная обратной функции φ^-1'(w)=1/φ'(φ^-1(w)) тоже не ограничена, иначе она была бы константой как и φ'(z), следовательно бесконечность для φ'(z) существенно особая точка, как и для φ(z). По теореме Сохоцкого такая φ(z) не может быть однолистной.

1:12:20 Всё что вне шарика на самом деле отображается в неограниченное множество, но ничего страшного в этом нет, это множество лежит в правой полуплоскости и с нашими левыми полосами не пересекается.
1:24:40 Производная функции φ'(z) ограничена и не обращается в ноль на комплексной плоскости, значит по теореме Лиувилля φ'(z)=const, φ'(z)=a≠0, следовательно φ(z)=az+b. Почему производная φ(z) ограничена? Предположим φ'(z) не ограничена на бесконечности, но производная обратной функции φ^-1'(w)=1/φ'(φ^-1(w)) тоже не ограничена, иначе она была бы константой как и φ'(z), следовательно бесконечность для φ'(z) существенно особая точка, как и для φ(z). По теореме Сохоцкого такая φ(z) не может быть однолистной.