Математический анализ. Лекция 87

Математика мой слабый предмет. Ваша лекции очень помогают. Спасибо.

1:12:20 Дробно-линейное отображение w0+c(z−z0)/(1+bz) переводит z0 в w0.
g(z,z0,w0,b,c)=w0+c(z−z0)/(1+bz)=((c+bw0)z−z0+w0)/(1+bz)
Обозначим c'=(c+bw0), z'0=(w0−z0)/c', b=−z'0* (*), получилась дробно-линейная функция как в предыдущем случае.
g(z,z'0,b,c')=c'(z−z'0)/(1+bz), дальше я штрихи опущу.
1:06:30 В точке z=1 выполняется равенство для некоторого c, |c|=1, c(1−z0)=1+b, c=(1+b)/(1−z0).
Так как c умноженное на сопряженное равно cc*=1,то 1+|b|^2+2Re(b)=1+|z0|^2−2Re(z0) ⇒ |b|=|z0|, Re(b)=−Re(z0)
В точке z=i выполняется c(i−z0)=1+ib, c=(1+ib)/(i−z0) ⇒ 1+|b|^2−2Im(b)=1+|z0|^2−2Im(z0) ⇒ |b|=|z0|, Im(b)=Im(z0)
Следовательно b=−z0*, равно минус сопряжённое z0.
g(z,z'0,b,c')=c'(z−z'0)/(1−z'0* z)
g(z)'=d/dz (c'(z−z'0)/(1−z'0* z))=c'(1−z'0* z+z'0* z−|z'0|^2)/(1−z'0* z)^2=c'(1−|z'0|^2)/(1−z'0* z)^2 (**)
В точке z=z'0 производная равна g(z'0)'=c'/(1−|z'0|^2), поэтому аргумент производной однозначно задаёт параметр c'. В z=z0 появляется уравнение на поиск c', arg c'=arg( g(z0)' )+2 arg( 1−z'0* z0 ). В (*) нам известны два параметра w0, z0, а неизвестные c', c, b и z'0. Совместно решая (*) и уравнение на аргумент c', мы находим все неизвестные. Проще задать направление производной g(z'0)', то есть в точке, которая отображается в ноль, тогда сразу определится c', плюс w0, z0 и мы решаем систему (*) трёх уравнений с тремя неизвестными c, b и z'0.
1:08:10 Если функция однолистная, то у неё производная нигде не обращается в ноль, судя по (**) производная в круге действительно в ноль не обращается. И конечно теорема Руше, функция g(z)=c(z−z0)/(1−z0* z) имеет столько же нулей, что и f(z)=g(z)−w, как замечено корень один. Для |w|<1 будет |w|<|g(z)| на границе круга.
1:26:30 Есть отображение Шварца-Кристоффеля верхней полуплоскости на многоугольники через интеграл, а круг на полуплоскость можно отобразить дробно-линейным w=ζ−i / ζ+i, ζ=i(w+1)/(1−w).
z=f(ζ)=∫^ζ dw/(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}, где a=b=1/3
Или через гипергеометрическую функцию 2_F_1(a,b;c;z):
s(ζ)=ζ^α · 2_F_1(a',b';c';ζ) / 2_F_1(a,b;c;ζ), где a=(1−α−β−γ)/2, b=(1−α+β−γ)/2, c=1−α, a′=a−c+1=(1+α−β−γ)/2, b′=b−c+1=(1+α+β−γ)/2, и c′=2−c=1+α, α=β=γ=1/3
Это отображение точки z = 0, 1 и ∞ переводит в соответствующие вершины треугольника.
s(0)=0, s(1)=Γ(1-a')Γ(1-b')Γ(c') / Γ(1-a)Γ(1-b)Γ(c), s(∞)=exp(iπα) Γ(1-a')Γ(b)Γ(c') / Γ(1-a)Γ(b')Γ(c), где Γ(x) − гамма функция Эйлера.

1:12:20 Дробно-линейное отображение w0+c(z−z0)/(1+bz) переводит z0 в w0.
g(z,z0,w0,b,c)=w0+c(z−z0)/(1+bz)=((c+bw0)z−cz0+w0)/(1+bz)
Обозначим c'=(c+bw0), z'0=(cz0−w0)/c', b=−z'0*, получилась дробно-линейная функция как в предыдущем случае когда z0 переводится в 0. Найдём параметр b в g(z,z0,b,c)=c(z−z0)/(1+bz).
1:06:30 В точке z=1 выполняется равенство для некоторого c, |c|=1, c(1−z0)=1+b, c=(1+b)/(1−z0).
Так как c умноженное на сопряженное равно cc*=1,то 1+|b|^2+2Re(b)=1+|z0|^2−2Re(z0) ⇒ |b|=|z0|, Re(b)=−Re(z0)
В точке z=i выполняется c(i−z0)=1+ib, c=(1+ib)/(i−z0) ⇒ 1+|b|^2−2Im(b)=1+|z0|^2−2Im(z0) ⇒ |b|=|z0|, Im(b)=Im(z0)
Следовательно b=−z0*, параметр равен минус сопряжённое z0.
g(z,z0,c)=c(z−z0)/(1−z0* z)
g(z)'=d/dz (c(z−z0)/(1−z0* z))=c(1−z0* z+z0* z−|z0|^2)/(1−z0* z)^2=c(1−|z0|^2)/(1−z0* z)^2 (^^)
В точке z=z0 производная равна g(z0)'=c/(1−|z0|^2), поэтому аргумент производной однозначно задаёт параметр c. В случае когда z0 переходит в w0≠0 появляется сложная система уравнений от двух комплексных параметров c и b, которая похоже что разрешима относительно четырёх действительных неизвестных.
d/dz w0+c(z−z0)/(1+bz)=c(1+bz−bz+z0b)/(1+bz)^2=c(1+z0b)/(1+bz)^2, в z=z0 производная равна g(z0)'=c/(1+bz0), аргумент этой дроби при надлежащем выборе c и b должен совпасть с заданным направлением производной. Уравнение на аргумент производной из четырёх неизвестных параметров, действительные и мнимые части c и b, оставляет три. Решение уравнения |c+bw0|=1 приводит к двум параметрам и наконец комплексное уравнение −b*·(c+bw0)=(cz0−w0) полностью снимает неоднозначность.

1:06:30 Найдём параметр b в c(z−z0)/(1+bz).
В точке z=1 выполняется равенство для некоторого c, |c|=1, c(1−z0)=1+b, c=(1+b)/(1−z0).
Так как c умноженное на сопряженное равно cc*=1,то 1+|b|^2+2Re(b)=1+|z0|^2−2Re(z0) ⇒ |b|=|z0|, Re(b)=−Re(z0)
В точке z=i выполняется c(i−z0)=1+ib, c=(1+ib)/(i−z0) ⇒ 1+|b|^2−2Im(b)=1+|z0|^2−2Im(z0) ⇒ |b|=|z0|, Im(b)=Im(z0)
Следовательно b=−z0*, параметр равен минус сопряжённое z0.
1:08:00 Используя лемму Шварца можно доказать, что все автоморфизмы круга есть преобразования Мёбиуса c(z−z0)/(1−z0* z), |c|=1.
Рассмотрим произвольный автоморфизм f(w) и пусть он точку 0 переводит в z0, 0−−>z0, обозначим g(z)=c(z−z0)/(1−z0* z) автоморфизм Мёбиуса, который z0−−>0. Тогда их композиция g(f(w)) 0−−>0 и мы можем применить лемму Шварца.
|g(f(0))'|=|g'(z0)f'(0)|=| f'(0)c/(1−|z0|^2) |≤1, |f'(0)c|=|f'(0)|≤(1−|z0|^2) (1)
Найдём обратный автоморфизм Мёбиуса g^-1(z)=(z+cz0)/(c+z0* z), он 0−−>z0, снова композиция f^-1(g^-1(z)) переводит ноль в ноль 0−−>0 и мы можем применить лемму Шварца.
|f^-1(g^-1(0))'|=|f^-1'(z0)g^-1'(0)|=|f^-1'(z0)(1-|z0|^2)/c|=|1/f'(0) (1-|z0|^2)/c| ≤ 1, |f'(0)c|=|f'(0)|≥(1-|z0|^2) (2)
Из (1) и (2) следует |f'(0)|=(1-|z0|^2) и |g(f(0))'|=1, по лемме это означает, что g(f(w))=exp(iα)w, поэтому f(w)=g^-1(exp(iα)w) или f(exp(−iα)z)=g^-1(z), то есть автоморфизм Мёбиуса.
Лемма Шварца. Если аналитическая в круге |z|<1 функция w=f(z) удовлетворяет условиям f(0)=0, |f(z)|<1, то справедливы неравенства |f(z)|≤|z|, |f'(0)|≤1. Если равенство |f(z)|=|z| выполняется хотя бы в одной точке z=z0≠0, |z0|<1, или |f'(0)|=1, то f(z)=exp(iα)z - поворот на угол α.

1:06:30 Найдём параметр b в c(z−z0)/(1+bz).
В точке z=1 выполняется равенство для некоторого c, |c|=1, c(1−z0)=1+b, c=(1+b)/(1−z0).
Так как c умноженное на сопряженное равно cc*=1,то 1+|b|^2+2Re(b)=1+|z0|^2−2Re(z0) ⇒ |b|=|z0|, Re(b)=−Re(z0)
В точке z=i выполняется c(i−z0)=1+ib, c=(1+ib)/(i−z0) ⇒ 1+|b|^2−2Im(b)=1+|z0|^2−2Im(z0) ⇒ |b|=|z0|, Im(b)=Im(z0)
Следовательно b=−z0*, параметр равен минус сопряжённое z0.
1:08:00 Используя лемму Шварца можно доказать, что все автоморфизмы круга есть преобразования Мёбиуса c(z−z0)/(1−z0* z), |c|=1.
Рассмотрим произвольный автоморфизм f(w) и пусть он точку 0 переводит в z0, 0−−>z0, обозначим g(z)=c(z−z0)/(1−z0* z) автоморфизм Мёбиуса, который z0−−>0. Тогда их композиция g(f(w)) 0−−>0 и мы можем применить лемму Шварца.
|g(f(0))'|=|g'(z0)f'(0)|=| f'(0)c/(1−|z0|^2) |≤1, |f'(0)c|=|f'(0)|≤(1−|z0|^2) (1)
Найдём обратный автоморфизм Мёбиуса g^-1(z)=(z+cz0)/(c+z0* z), он 0−−>z0, снова композиция f^-1(g^-1(z)) переводит ноль в ноль 0−−>0 и мы можем применить лемму Шварца.
|f^-1(g^-1(0))'|=|f^-1'(z0)g^-1'(0)|=|f^-1'(z0)(1-|z0|^2)/c|=|1/f'(0) (1-|z0|^2)/c| ≤ 1, |f'(0)c|=|f'(0)|≥(1-|z0|^2) (2)
Из (1) и (2) следует |f'(0)|=(1-|z0|^2) и |g(f(0))'|=1, по лемме это означает, что g(f(w))=exp(iα)w, поэтому f(w)=g^-1(exp(iα)w) или f(exp(−iα)z)=g^-1(z), то есть автоморфизм Мёбиуса.
Лемма Шварца. Если аналитическая в круге |z|<1 функция w=f(z) удовлетворяет условиям f(0)=0, |f(z)|<1, то справедливы неравенства |f(z)|≤|z|, |f'(0)|≤1. Если равенство |f(z)|=|z| выполняется хотя бы в одной точке z=z0≠0, |z0|<1, или |f'(0)|=1, то f(z)=exp(iα)z - поворот на угол α.