Математический анализ. Лекция 61

35:00 1) Надо представить f(x)=f+(x)−f-(x), а для f+(x) и f-(x) по отдельности это верно.
∫f(x)dμ=∫f+(x)dμ−∫f-(x)dμ=∑∫f+(x)dμ−∑∫f-(x)dμ=∑( ∫f+(x)dμ−∫f-(x) )=∑∫f(x)dμ

2) Пусть g(x)=I_{A}(x), тогда ∫_ I_{A}(x) dν = v(A) = ∫_{A} f(x)dμ и
∫_ g(x)∙f(x) dμ = ∫_ I_{A}(x)∙f(x) dμ =∫_{A} f(x)dμ, следовательно
∫_ I_{A}(x) dν = ∫_ I_{A}(x)∙f(x) dμ
Равенство ∫_ h(x) dν = ∫_ h(x)∙f(x) dμ (1) справедливо для всех простых функций.
Для произвольного g(x)>0 можно построить сходящуюся возрастающую последовательность {hk(x)} ↑ g(x) соответствующая последовательность {hk(x)∙f(x)} ↑ g(x)∙f(x) тоже возрастающая и сходящаяся, по теореме о сходимости интеграла от сходящейся возрастающей последовательности неотрицательных функций
∫_ hk(x) dν → ∫_ g(x) dν, ∫_ hk(x)∙f(x) dμ → ∫_ g(x)∙f(x) dμ
Из (1) следует ∫_ g(x) dν = ∫_ g(x)∙f(x) dμ

3) От противного, пусть f=0 не почти всюду, тогда не умаляя общности найдётся число ε>0, что μ(E) > 0, где E={ x | f(x)≥ε}. Правда, общность останется, если μ(E)=0 для любого ε>0, тогда возьмём f'=−f интеграл ∫_ f'(x) dμ=−∫_ f(x) dμ = 0 тоже равен нулю. На множестве E выполняется неравенство ε∙I_{E}(x) ≤ f(x) по свойству монотонности интеграла верно неравенство ∫_ ε∙I_{E}(x)dμ ≤ ∫_{E} f(x)dμ ,
0 < ε∙∫_ I_{E}(x)dμ=ε∙μ(E) ≤ ∫_{E} f(x)dμ. Мы нашли такое множество E, на котором 0 < ∫_{E} f(x)dμ≠0 и μ(E) > 0, противоречие.