Математический анализ. Лекция 48

1:25:30 Нет, не доказана теорема. Это семейство относительно компактно по теореме Арцела-Асколи, значит существует сходящаяся подпоследовательность, но сходящаяся в себе. Она конечно сходится к f(x), но неизвестно f(x) непрерывная ли? Доказали лишь то, что фундаментальная последовательность функций {fn(x)} из C(K) относительно компактно, но так как полнота C(K) ещё не доказана, то вообще говоря сходиться последовательность fn(x) может к функции из пространства всех ограниченных функций на компакте K, а к таким относятся также разрывные функции. Надо было доказать непрерывность предельной функции f(x), сделать это можно при помощи теоремы Стокса-Зейделя.
1:12:00 1:14:00 Тут по-моему достаточно один раз применить диагональный метод и мы сразу получим нужную подпоследовательность. Второй раз применять диагональный метод не нужно.