Задача об островитянах (по главе 3)

Допустим, α - рыцарь. Тогда его высказывание - истина и все трое лжецы - в том числе и он. Получили противоречие, поэтому α может быть только лжецом. Тогда из его высказывания следует, что хотя бы один из β и γ рыцарь. Возможны такие варианты:

1. β - рыцарь, γ - лжец
2. β - лжец, γ - рыцарь
3. β - рыцарь, γ - рыцарь

Пусть β - рыцарь, тогда это варианты 1 и 3. Его высказывание истинно и остается вариант 1. Это решение согласуется с условием.
Допустим теперь β - лжец, тогда это вариант 2. В этом случае его высказывание ложно и оно соответствует варианту 3. Это опять противоречие.
Вывод: задача имеет единственное решение: α - лжец, β - рыцарь, γ - лжец.

Можно решить задачу с помощью таблицы истинности. Обозначим:
X1, X2, X3 - островитяне α, β и γ являются рыцарями, соответственно.
A - высказывание жителя α,
B - высказывание жителя β.

Составим таблицу истинности для всех комбинаций X1, X2 и X3. Вычислим истинность высказываний A, B и их отрицаний
(для наглядности 0 = Л, 1 = И):

X1, X2, X3:     A, !A, B, !B
--------------------------------------
0, 0, 0:     1, (0), 0, (1)
0, 0, 1:     0, (1), 1, (0)
0, 1, 0:     0, (1), (1), 0   (+)
0, 1, 1:     0, (1), (0), 1
1, 0, 0:     (0), 1, 1, (0)
1, 0, 1:     (0), 1, 0, (1)
1, 1, 0:     (0), 1, (0), 1
1, 1, 1:     (0), 1, (0), 1

Так как в зависимости от значений переменных X1, X2, X3 следует брать значение либо исходного высказывания, либо его отрицания (жители могут говорить правду либо лгать), нужные результаты заключены в скобки. Например, для комбинаций, где α - рыцарь, отмечаем высказывание A, а где он лжец, то !A. Аналогично с высказыванием B.
Теперь находим все строки, где оба значения в скобках равны 1 (истина). Такая строка во всей таблице только одна (третья), ей соответствует X1, X2, X3 = 0, 1, 0, т.е. задача имеет единственное решение - α - лжец, β - рыцарь, γ - лжец.

Я решал задачу так:
α(альфа) сказал: «Мы все лжецы»;  Отсюда следует что альфа - лжец. В противное не возможно по определению того, что рыцари всегда говорят правду.

Остаётся разобрать пару β(бетта) и γ(гамма)
β сказал: «Один из нас рыцарь»
Если бетта сказал ложь, тогда получаем что все - альфа, бетта и гамма, - лжецы. Но мы знаем что как минимум альфа лжец, значит бетта сказав ложь говорит правду, что является противоречием. Остаётся вариант что бетта сказал правду. Следовательно получаем что бетта рыцарь, гамма лжец.

> Если бетта сказал ложь, тогда получаем что все - альфа, бетта и гамма, - лжецы.

Не только. Отрицанию выражения "Один из нас рыцарь" также соответствуют случаи "Двое из нас рыцари" (в трех вариантах) и "Все трое рыцари". Всего пять случаев.