Здравствуйте. К видео 1.2 приложен дополнительный материал, который показывает, что лишь для поворотных осей порядков 1, 2, 3, 4 и 6 истинно выражение A, сводящееся к "образы точек из одного трансляционного ряда порождённые поворотными осями (при вращении в противоположные стороны) также принадлежат трансляционному ряду с той же диной трансляции".
Но в лекции говорится, что это доказательство обосновывает возможность лишь поворотных осей данного порядка в кристаллическом веществе. Чтобы это было так, выражение A должно быть неотъемлемым свойством кристаллов. В тоже время в википедии кристаллы определены как "твёрдые тела, в которых атомы расположены закономерно, образуя трёхмерно-периодическую пространственную укладку". Потому возникают вопросы по поводу наличия некоторых нюансов в выражении А:
1) Почему рассматриваются именно повороты в противоположных направлениях, а в идентичных не рассматриваются (в таком случае любой угол поворота будет удовлетворять требованю)?
2) Почему к трансляционному ряду образов прилагается требование идентичной длины трансляции?
Хотелось бы получить то определение кристаллического вещества, которое используется в курсе, а также понять, как из него вытекает это выражение А.
id.ilych, нам очень приятно видеть такой ответственный подход к освоению материала и желание разобраться в нюансах. Приведенное Вами определение кристаллического вещества верное. Надеюсь, ответы на Ваши вопросы развеят все сомнения в правильности рассуждений.
1) Поворотная ось может вращать в любую сторону. Допустим поворотная ось вращает только по часовой стрелке. Тогда представьте, что Вы смотрите не на картинку, а на реальную структуру вещества. Тогда на нее можно посмотреть с обратной стороны, как будто из-под листка тетрадки или экрана монитора. В зависимости от того, с какой стороны мы смотрим на структуру, вращение одной и той же поворотной осью по часовой стрелке реально будет приводить к вращению структуры в противоположные стороны. Поэтому на самом деле не важно с какой стороны мы смотрим на структуру и на вращение, поворотная ось может одинаково вращать и по часовой стрелке, и против. В данном случае изменение направления вращения является необходимым для продолжения рассуждений.
2) Точки из нижнего ряда получены размножением определенной трансляцией. Т.к. крайние точки из верхнего ряда получены из эквивалентных точек нижнего ряда, то они также эквивалентны, т.е. могут быть получены размножением той же трансляцией.
Антон, не совсем понял насчёт поворота. Тут смущает именно то, что одна точка отображается поворотом в одну сторону, а другая - в другую, при том, что взгляд с одной стороны "плёнки" для обоих случаев.
По поводу второго пункта - почему все ряды должны быть эквивалентны? Почему не могут чередоваться ряды с разными длинами трансляции? А также с разными расстояниями между рядами? Возьмём, например, узор классического футбольного мяча. Там присутствуют и пятиугольники и шестиугольники, но в целом структура периодическая. И в центрах пятиугольников можно поместить поворотную ось пятого порядка, в центрах шестиугольников - шестого. Или такая структура возможна только на сфере?
Скорее всего моё непонимание вызвано недостатком контекста - незнанием тех суждений, которые соединяют суть кристаллов и данные утверждения - какие свойства кристаллической решётки требуют эквивалентность всех рядов? Также возможная причина кроется в непонимании мной того, что берётся за точку - атом ли, или минимальная повтораяющаяся область сетки, или ещё что-то? И как насчёт осей, не проходящих через сами точки?
id.ilych, суть в том, что если поворотная ось есть, то она одинаково может поворачивать в обе стороны. При повороте правой точки как против, так и по часовой стрелке, мы получим точку из верхнего ряда, трансляционно-эквивалентную левой точке из верхнего ряда. Просто если обе точки повернуть по часовой стрелке, то мы будем точно знать расстояние между точками из верхнего ряда - оно будет равно расстоянию между точками из нижнего, т.е. мы не сможем записать выражение для вывода углов поворота. А вот если одну точку повернуть против часовой, а другую по часовой - то можем написать такое выражение.
По поводу второго пункта. Т.к. мы живем в трехмерном мире, то возможны всего три трансляции, по одной для каждого направления. Ряды могут быть неэквиваленты и чередоваться, но тогда и период повторяемости будет большим и трансляция большая. Например, ряды могут быть такими: ААААА, тогда трансляция будет равна расстоянию между двумя рядами А. А могут быть такими: АBCDABCDABCD, тогда трансляция будет больше, и опять же будет равна расстоянию между рядами А. В целом можно нарисовать сколь угодно большой и вычурный "узор" из точек, а потом повторить его в трех направлениях на бесконечность. Тогда получится кристаллическая структура, а изначальный "узор" будет периодом повторяемости. Вообще, используя описание симметрии по принципам, рассмотренным в данных лекциях, можно описать симметрию любого конечного или бесконечного объекта из нашей жизни, а не только кристаллической структуры.
Пример с мячиком не лучший в том смысле, что это не бесконечная структура. А вот можно ли пятиугольники использовать на плоскости - подумайте сами. Попробуйте на листе бумаги составить периодическую структуру из треугольников, четырехугольников, пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и т.д. Каков результат?
За точки мы принимаем атомы, если говорим о кристаллических структурах. Но минимально повторяющаяся область сетки - тоже очень важная характеристика - дождитесь лекции по элементарным ячейкам. Оси не обязательно должны проходить через точки, например, в шестиугольнике ось шестого порядка проходит через центр, в котором нет точки.
Антон, с поворотами, кажется, разобрался. Дело в том, что если сделать N-1 поворотов вокруг поворотной оси порядка N, то угол составит 360° - α, что в данном случае и соответствует повороту в обратную сторону на α.
С раскраской футбольного мяча, как я и подозревал, действительно выходит лишь на кривой поверхности. Я рассуждаю так: на плоскости сумма углов, сходящихся в одной точке, должна быть 360°. Добиться такого от сочетания правильные пятиугольников (с углами по 108°) и шестиугольников (с углами по 120°) затруднительно, да.
Что касается чередующихся рядов - я имел в виду скорее вертикально чередующиеся ряды, вроде:
АААААА
BBBBBBB
АААААА
, то есть случай, когда образ точки из ряда с длиной трансляции А, порождаемый поворотом, оказывается в ряду с длиной трансляции B.
Со осью второго порядка всё понятно - образы остаются на тех же рядах. С третьим порядком о чередующихся рядах и говорить сложно, т.к. в трёх направлениях должно быть одно и то же. Дальше - ещё сложнее.
Если резюмировать - с поворотами мне наиболее ясно, с замощением правильными многоугольниками тоже, с рядами в меньшей степени, а вот случаи с комбинацией правильных неправильными многоугольников (то есть общий случай) не могу назвать глубоко понятыми в строгом смысле этого слова. Впрочем подозреваю, что простого объяснения нет, и для действительного понимания этих вопросов, к математике понадобится приложить гораздо больше усилий, чем я готов сейчас. Спасибо за ответы.
id.ilych, верно рассуждаете! Пятиугольниками плоскую поверхность без пустот заполнить невозможно. Точно так же невозможно заполнить трехмерное пространство объемными фигурами, имеющими поворотные оси симметрии 5 порядка. Именно поэтому их и не может быть в периодических структурах кристаллов.
Чтобы лучше разобраться в остальных вопросах, нужно попробовать порисовать различные структуры кристаллов, где будут видны различные чередующиеся ряды и т.д. Дальше в курсе это будет, так что надеюсь все станет более понятным. Приятного просмотра!
1) Упоминается, что в кристаллах может существовать 32 точечных группы. Я так понимаю, что это следует из взаимодействия элементов симметрии (две зеркальных плоскости говорят о наличии поворотной оси и т.п.), то есть в кажущемся многообразии возможностей будут присутствовать внутренние зависимости, и окажется, что одни элементы строго следуют из других. Но так же подозреваю, что неспроста это степень двойки (и совсем уж пальцем в небо - пятая степень связана с количеством возможных поворотных осей в кристаллах). Можно "на пальцах" пояснить этот момент, или необходимо будет глубоко погрузиться в математику?
2) Также указывается, что группа, которой принадлежат куб и октаэдр - , а в приложенной таблице есть только группа . Опечатка?
id.ilych, 32 точечные группы на самом деле появляются из-за того, что элементы симметрии могут сочетаться только определенным образом. В приложенной таблице как раз перечислены все элементы симметрии для каждой точечной группы - можно посмотреть какие сочетания возможны. Другие сочетания, соответсвтенно, невозможны - это, получается, свойство трехмерного мира, в котором мы живем. То, что два в пятой степени равно 32, является просто совпадением.
Ну а по поводу группы - это опечатка, правильный вариант с чертой. Группы m3m без черты не существует.
Здравствуйте! 7 вопрос в тесте№1 -непонятен алгоритм выполнения.
Здравствуйте. К видео 1.2 приложен дополнительный материал, который показывает, что лишь для поворотных осей порядков 1, 2, 3, 4 и 6 истинно выражение A, сводящееся к "образы точек из одного трансляционного ряда порождённые поворотными осями (при вращении в противоположные стороны) также принадлежат трансляционному ряду с той же диной трансляции".
Но в лекции говорится, что это доказательство обосновывает возможность лишь поворотных осей данного порядка в кристаллическом веществе. Чтобы это было так, выражение A должно быть неотъемлемым свойством кристаллов. В тоже время в википедии кристаллы определены как "твёрдые тела, в которых атомы расположены закономерно, образуя трёхмерно-периодическую пространственную укладку". Потому возникают вопросы по поводу наличия некоторых нюансов в выражении А:
1) Почему рассматриваются именно повороты в противоположных направлениях, а в идентичных не рассматриваются (в таком случае любой угол поворота будет удовлетворять требованю)?
2) Почему к трансляционному ряду образов прилагается требование идентичной длины трансляции?
Хотелось бы получить то определение кристаллического вещества, которое используется в курсе, а также понять, как из него вытекает это выражение А.
Спасибо.
id.ilych, нам очень приятно видеть такой ответственный подход к освоению материала и желание разобраться в нюансах. Приведенное Вами определение кристаллического вещества верное. Надеюсь, ответы на Ваши вопросы развеят все сомнения в правильности рассуждений.
1) Поворотная ось может вращать в любую сторону. Допустим поворотная ось вращает только по часовой стрелке. Тогда представьте, что Вы смотрите не на картинку, а на реальную структуру вещества. Тогда на нее можно посмотреть с обратной стороны, как будто из-под листка тетрадки или экрана монитора. В зависимости от того, с какой стороны мы смотрим на структуру, вращение одной и той же поворотной осью по часовой стрелке реально будет приводить к вращению структуры в противоположные стороны. Поэтому на самом деле не важно с какой стороны мы смотрим на структуру и на вращение, поворотная ось может одинаково вращать и по часовой стрелке, и против. В данном случае изменение направления вращения является необходимым для продолжения рассуждений.
2) Точки из нижнего ряда получены размножением определенной трансляцией. Т.к. крайние точки из верхнего ряда получены из эквивалентных точек нижнего ряда, то они также эквивалентны, т.е. могут быть получены размножением той же трансляцией.
Антон, не совсем понял насчёт поворота. Тут смущает именно то, что одна точка отображается поворотом в одну сторону, а другая - в другую, при том, что взгляд с одной стороны "плёнки" для обоих случаев.
По поводу второго пункта - почему все ряды должны быть эквивалентны? Почему не могут чередоваться ряды с разными длинами трансляции? А также с разными расстояниями между рядами? Возьмём, например, узор классического футбольного мяча. Там присутствуют и пятиугольники и шестиугольники, но в целом структура периодическая. И в центрах пятиугольников можно поместить поворотную ось пятого порядка, в центрах шестиугольников - шестого. Или такая структура возможна только на сфере?
Скорее всего моё непонимание вызвано недостатком контекста - незнанием тех суждений, которые соединяют суть кристаллов и данные утверждения - какие свойства кристаллической решётки требуют эквивалентность всех рядов? Также возможная причина кроется в непонимании мной того, что берётся за точку - атом ли, или минимальная повтораяющаяся область сетки, или ещё что-то? И как насчёт осей, не проходящих через сами точки?
id.ilych, суть в том, что если поворотная ось есть, то она одинаково может поворачивать в обе стороны. При повороте правой точки как против, так и по часовой стрелке, мы получим точку из верхнего ряда, трансляционно-эквивалентную левой точке из верхнего ряда. Просто если обе точки повернуть по часовой стрелке, то мы будем точно знать расстояние между точками из верхнего ряда - оно будет равно расстоянию между точками из нижнего, т.е. мы не сможем записать выражение для вывода углов поворота. А вот если одну точку повернуть против часовой, а другую по часовой - то можем написать такое выражение.
По поводу второго пункта. Т.к. мы живем в трехмерном мире, то возможны всего три трансляции, по одной для каждого направления. Ряды могут быть неэквиваленты и чередоваться, но тогда и период повторяемости будет большим и трансляция большая. Например, ряды могут быть такими: ААААА, тогда трансляция будет равна расстоянию между двумя рядами А. А могут быть такими: АBCDABCDABCD, тогда трансляция будет больше, и опять же будет равна расстоянию между рядами А. В целом можно нарисовать сколь угодно большой и вычурный "узор" из точек, а потом повторить его в трех направлениях на бесконечность. Тогда получится кристаллическая структура, а изначальный "узор" будет периодом повторяемости. Вообще, используя описание симметрии по принципам, рассмотренным в данных лекциях, можно описать симметрию любого конечного или бесконечного объекта из нашей жизни, а не только кристаллической структуры.
Пример с мячиком не лучший в том смысле, что это не бесконечная структура. А вот можно ли пятиугольники использовать на плоскости - подумайте сами. Попробуйте на листе бумаги составить периодическую структуру из треугольников, четырехугольников, пятиугольников, шестиугольников, семиугольников и т.д. Каков результат?
За точки мы принимаем атомы, если говорим о кристаллических структурах. Но минимально повторяющаяся область сетки - тоже очень важная характеристика - дождитесь лекции по элементарным ячейкам. Оси не обязательно должны проходить через точки, например, в шестиугольнике ось шестого порядка проходит через центр, в котором нет точки.
Антон, с поворотами, кажется, разобрался. Дело в том, что если сделать N-1 поворотов вокруг поворотной оси порядка N, то угол составит 360° - α, что в данном случае и соответствует повороту в обратную сторону на α.
С раскраской футбольного мяча, как я и подозревал, действительно выходит лишь на кривой поверхности. Я рассуждаю так: на плоскости сумма углов, сходящихся в одной точке, должна быть 360°. Добиться такого от сочетания правильные пятиугольников (с углами по 108°) и шестиугольников (с углами по 120°) затруднительно, да.
Что касается чередующихся рядов - я имел в виду скорее вертикально чередующиеся ряды, вроде:
АААААА
BBBBBBB
АААААА
, то есть случай, когда образ точки из ряда с длиной трансляции А, порождаемый поворотом, оказывается в ряду с длиной трансляции B.
Со осью второго порядка всё понятно - образы остаются на тех же рядах. С третьим порядком о чередующихся рядах и говорить сложно, т.к. в трёх направлениях должно быть одно и то же. Дальше - ещё сложнее.
Если резюмировать - с поворотами мне наиболее ясно, с замощением правильными многоугольниками тоже, с рядами в меньшей степени, а вот случаи с комбинацией правильных неправильными многоугольников (то есть общий случай) не могу назвать глубоко понятыми в строгом смысле этого слова. Впрочем подозреваю, что простого объяснения нет, и для действительного понимания этих вопросов, к математике понадобится приложить гораздо больше усилий, чем я готов сейчас. Спасибо за ответы.
id.ilych, верно рассуждаете! Пятиугольниками плоскую поверхность без пустот заполнить невозможно. Точно так же невозможно заполнить трехмерное пространство объемными фигурами, имеющими поворотные оси симметрии 5 порядка. Именно поэтому их и не может быть в периодических структурах кристаллов.
Чтобы лучше разобраться в остальных вопросах, нужно попробовать порисовать различные структуры кристаллов, где будут видны различные чередующиеся ряды и т.д. Дальше в курсе это будет, так что надеюсь все станет более понятным. Приятного просмотра!
И снова здравствуйте :) Вопросы по видео 2.1
1) Упоминается, что в кристаллах может существовать 32 точечных группы. Я так понимаю, что это следует из взаимодействия элементов симметрии (две зеркальных плоскости говорят о наличии поворотной оси и т.п.), то есть в кажущемся многообразии возможностей будут присутствовать внутренние зависимости, и окажется, что одни элементы строго следуют из других. Но так же подозреваю, что неспроста это степень двойки (и совсем уж пальцем в небо - пятая степень связана с количеством возможных поворотных осей в кристаллах). Можно "на пальцах" пояснить этот момент, или необходимо будет глубоко погрузиться в математику?
2) Также указывается, что группа, которой принадлежат куб и октаэдр - , а в приложенной таблице есть только группа . Опечатка?
Не пропечаталась вставка... Это были m3m с чертой над 3 и без оной соответственно.
id.ilych, 32 точечные группы на самом деле появляются из-за того, что элементы симметрии могут сочетаться только определенным образом. В приложенной таблице как раз перечислены все элементы симметрии для каждой точечной группы - можно посмотреть какие сочетания возможны. Другие сочетания, соответсвтенно, невозможны - это, получается, свойство трехмерного мира, в котором мы живем. То, что два в пятой степени равно 32, является просто совпадением.
Ну а по поводу группы - это опечатка, правильный вариант с чертой. Группы m3m без черты не существует.
Доброго дня, вопрос по лекции 4.1. Скажите, пожалуйста, когда мы высчитываем координаты атома А, почему мы получаем из
А (0, 0, 1/2) при
x с чертой, y, 1/2+z
и
x, y с чертой, 1/2+z
координаты (0,0,0), а не (0,0,1)?
Разобралась
Добрый вечер! Увидела, что будет курс на английском языке. Я бы заменила следующий текст
bachelor's - undergraduate
material's science- materials science / science of materials
department of inorganic chemistry
у меня есть готовый текст с заменами, я могу прислать, если интересно.
С уважением,
Мария
Ma, большое спасибо!)
Пришлите на почту ymedvedkov404@gmail.com, пожалуйста!)
Мы просмотрим и подумаем!