Существует переформулировка метода математической индукции, известная еще древним грекам – метод бесконечного спуска: если для каждого натурального числа, удовлетворяющего свойству A(n), найдется меньшее, удовлетворяющее этому свойству, то чисел n, для которых выполнено A(n), вообще нет.
Докажите абсурдность следующего предположения: у каждого человека мать является человеком.
Дайте мне определение абсурдности.
Абсурд — нечто алогичное, нелепое, глупое, из ряда вон выходящее, противоречащее здравому смыслу.
Если принять именно это значение абсурдности, то прежде всего становится абсурдной постановка задачи. Для меня она как минимум нелепа и если не противоречит, то точно лишена здравого смысла.
А отношение порядка в данном случае - это область истинности предиката P(x,y), где x - потомок y?
Если понимать под абсурдностью наличие противоречия или его выводимость, то противоречия в предположении нет. Метод бесконечного спуска применять нельзя, до тех пор пока не указан способ перенумеровать людей в убывающем порядке. Уж как-то спокойнее тогда заявить: если для каждого человека можно указать человека, который старше, то людей не существует - и это истина.
С другой стороны, можно рассмотреть Адама, для которого нельзя указать человека, являющегося его матерью, но тут уже все непросто, поскольку сам Адам является в некотором роде матерью Евы, но опять же не совсем. Уже какая-то нечеткая логика получается.
Ладно, отбрасываем нечеткую логику, оставляем три утверждения:
1) у каждого человека мать является человеком;
2) Адам человек;
3) мать Адама не человек.
Вот он, абсурд (противоречие)! Однакож опять ерунда (нонсенс, нелепость). С чего мы взяли, что мать Адама не человек? Не было ведь у него матери?
Корректировочка:
3) у Адама не было матери.
Снова противоречия нет. Была мать - была проблема, нет матери - нет проблемы. И главная досада, что метод бесконечного спуска никуда не приткнуть!
Но не будем сдаваться. Перенумеруем всех людей в порядке убывания и ударим софистикой по бездорожью и разгильдяйству!
Давайте уж попробуем :-)
Множество людей счетно. Очевидно, можно ввести нумерацию таким образом, чтобы номер ребёнка был больше номера матери. Предположим, что у каждого человека мать является человеком.
Пусть P(x) значит, что мать человека с номером x - человек. Тогда верно, что ∀x(P(x)→∃y((y<x)&P(y))), где y - номер матери x. Следовательно,
∀x¬P(x), т.е мать любого человека не является человеком. Но это не так. Мы пришли к противоречию. Значит, предположение, что у каждого человека мать - человек, является неверным.
Респект! :-)
Извините, но предложенное доказательство не совершенно.
Поясню конкретнее.
Первое. Мы можем утверждать, что множество людей счетно, поскольку интуитивно понятно, что мощность такого множества меньше мощности континуума. Для этого необходимо всего лишь указать, каким образом устанавливается взаимно однозначное соответствие между этим множеством и множеством натуральных чисел, то есть какой элемент является в исследуемом множестве первым, какой вторым, и как определяется номер произвольного элемента множества.
Второе. Однако для применения метода бесконечного спуска этого недостаточно. Необходимо показать, что построенное таким образом взаимно однозначное соответствие сохраняет отношение порядка, то есть то самое отношение порядка на исследуемом множестве, которое используется в методе, соответствует естественному отношению порядка на множестве натуральных чисел именно на построенном взаимно однозначном отображении.
Третье. Попытаемся перевести на формальный язык связку из двух предложений.
Пусть P(x) значит, что мать человека с номером x - человек. Тогда верно, что ∀x(P(x)→∃y((y<x)&P(y))), где y - номер матери x.
У меня получилось так:
P(x)→∀x(P(x)→∃y((y<x)&P(y)))
Если я неправильно понял, что посылка внешней импликации - это P(x) (или хотя бы ∀xP(x)), тогда посылки нет вовсе, заключение выводится из воздуха. К тому же предикат P(x) слишком сложный, он заменяет сложную формулу, непонятно, что означает его отрицание (невыполнение этой формулы?).
Резюме: счетность множества не показана, сохранение порядка не показано (применен трюк "Очевидно"), синтаксис доказательства неясен. (ничего личного, только математика)
Раз уж так хочется применить метод бесконечного спуска, предлагаю следующее доказательство. Разумеется, нестрогое.
Докажем, что нельзя перенумеровать людей натуральными числами в ретроспективно убывающем строгом порядке. Допустим от противного, что нумерация с таким порядком существует. Тогда при сопоставлении номер ребенка окажется больше номера матери. Очевидно, что у каждого человека есть мать и она является человеком: ∀xP(x). В этих условиях мы правомочны применить метод бесконечного спуска ∀x(P(x)→∃y((y<x)&P(y)))→∀x¬P(x) и приходим к противоречию, что означает ложность нашего допущения и невозможность такой нумерации, что и требовалось доказать.
Первое. Множество людей счетно, т.к. существует взаимно однозначное отображение множества людей в множество натуральных чисел. Более того, это отображение обладает именно тем условием, которое я указала. Я не стала уточнять, что представляет собой данное отображение, т.к. это очевидно. В математике "очевидно" - это не трюк, а ситуация, когда очевидно.
Второе. В данном случае, под отношением порядка понимается естественный числовой порядок. Когда речь идёт о натуральных числах (а здесь речь идёт именно о них), то, по умолчанию, под порядком понимается естественный числовой. Это тоже очевидно.
Третье. Мною было представлено неформальное доказательство. Понятно, что "тогда верно" относилось не к "P(x) значит...", а к "P(x) значит..." и "можно ввести нумерацию...", и "предположим, что у каждого человека...". Поэтому Вы неправильно поняли, что "посылка внешней импликации - это P(x)....". Кстати, "заключение выводится из воздуха", если P(x) - воздух. В данном примере P(x) - это не воздух. Поэтому, неясно, к чему относилось данное замечание. Далее, я пояснила, что означает "не P(x)". Поэтому непонятно, что здесь непонятного.
Резюме: хотелось бы, наконец, увидеть Ваше полное, формальное, синтаксически и семантически идеальное, в общем, абсолютно совершенное доказательство хотя бы чего-нибудь. Покажите класс!))))
P. S.: То, что Вы написали в последнем абзаце, конечно, не доказательство, а какое-то недоразумение. Во-первых, доказательство может быть формальным и неформальным, но строгим должно быть и то, и другое. Нестрогое доказательство - это не доказательство, а словоблудие (ничего личного, только математика). И потом, насколько я понимаю, Вы доказываете, что множество людей не является счетным, и судя по Вашему "доказательству", вы вообще не понимаете, что такое натуральные числа. Извините, может, я не права, но это следует из того, что Вы написали.