Обсуждение задачи второй главы

x^4-20x^2+1=0
вроде подходит, но не зачитывает за правильный, почему???

По теореме Виета q=x1*x2=(sqrt(2)+sqrt(3))(x2)
Возьмем x2 как сопряженное x1 - sqrt(2)-sqrt(3)
Тогда q по формуле разности квадратов будет q=x1*x2=(sqrt(2)+sqrt(3))(sqrt(2)-sqrt(3)=-1
Найдем по теореме Виета b  - b = -(x1+x2)=-2sqrt(2)
В итоге получаем x^2 -2*sqrt(2)*x-1=0
Перенесем -2*sqrt(2)*x в правую часть и возведем обе части в квадрат:
(x^2-1)^2=(2*sqrt(2)*x)^2
x^4-2*x^2+1=8x^2
Итоговое выражение:
x^4-10x^2+1=0

Общий метод такой.
Дано иррациональное алгебраическое число, выраженное, к примеру, как сумма квадратичных иррациональностей. В задаче это sqrt(2)+sqrt(3). Требуется найти уравнение с целыми коэффициентами, в котором оно является корнем.

Обозначим как-нибудь корень искомого уравнения, например x.
x=sqrt(2)+sqrt(3).
Теперь переносим иррациональности из одной части уравнения в другую так, чтоб от иррациональности можно было бы "избавиться", например возведя обе части уравнения в квадрат.

x-sqrt(3)=sqrt(2), (x-sqrt(3))^2=sqrt(2)^2,

x^2 - 2*sqrt(3)*x + 3=2,

x^2 - 2*sqrt(3)*x + 1=0.

Проделываем аналогичные действия со "второй" иррациональностью.

x^2 + 1 = 2*sqrt(3)*x,

(x^2 + 1)^2 = (2*sqrt(3)*x)^2,

x^4 + 2*x^2 + 1 = 4 * 3 * x^2,

x^4 - 10*x + 1 = 0.

x по-прежнему корень уравнения, а все его коэффициенты целые. Если бы квадратичных иррациональностей было бы три, то получился бы многочлен шестой степени. Если бы одна из иррациональностей была третьей степени, то получился бы многочлен пятой степени.

Можно заметить, что если мы умножим это уравнение на целое число, его коэффициенты останутся целыми.
Ответами будут и 2*x^4 - 20*x + 2 = 0, и 3*x^4 - 30*x + 3 = 0, и т.д.