Обсуждение задач

Решим системой уравнений:

х-курицы
у-кролики

х+у=80
2х+4у=200

х=80-у
160-2у+4у=200

х=80-у
2у=40

х=80-у
у=20

х=60
у=20

ответ: 60 куриц и 20 кроликов

Я всё равно не пойму как получилось 160-2y+4y=200 (откуда берётся 160)

то что у кролика 4 лапы, это логично, только как математически это получить не понимаю.

Есть ещё одно решение: 

1. Если были только куры то всего было бы 160 ног (80*2=160)

2. Заменяя  курицу кроликом увеличиваем число ног на два.

3. Нам до количества ног по условию не хватает 40 ног (200-160=40), тогда сделав двадцать замен мы получим необходимое количество ног.

4. Получаем двадцать кроликов и 60 куриц  (80-20=60).

1) Пусть

Х - количество голов куриц

У - количество голов кроликов

Поскольку в условии задачи говорится, что общее количество голов составляет 80, то составим уравнение Х+У=80

2) Пусть

2Х- количество ног куриц

4У- количество ног кроликов

Поскольку в условии задачи говорится, что под забором 200 ног, то составим уравнение 2Х+4У=200

3) Составим и решим систему 2-х уравнений:

Х+У=80

2Х+4У=200

из первого уравнения выделим Х=80-У и подставим во второе 2(80-У)+4У=200; У=20

подставляем У=20 в первое уравнение и находим Х=80-У; У=60

Ответ: 60 голов куриц и 20 голов кроликов

Если куриц Х голов, то кроликов (80-Х) голов. У куриц 2 ноги, у кролика 4, значит всего в хозяйстве 2Х+4(80-Х) ног, а мы знаем, то ног 200.

Решаем простейшее уравнение:
2Х+4(80-Х)=200
2Х+320-4Х=200
2Х=120
Х=60 , 80-Х=20

И вот они кролики и курицы.

Подскажите, пожалуйста, как записать ответ во второй задаче(пример записи)? Я думаю, что я решила верно, но ответ отмечается красным, может я ввожу что-то не так?

Можно решить либо уравнением с одним неизвестным:

Если принять количество куриц на ферме за Х, то количество кроликов будет равняться (80-Х).

Так как у курицы ножки две, а у кролика - 4, получаем уравнение 2Х+4(80-Х)=200.

Раскрываем скобки: 2Х+320-4Х=200,  2Х=120,  Х=60

Ответ: Куриц - 60, Кроликов - 20.

Второй вариант решения более громоздкий, но также верный... Система уравнений с двумя неизвестными:

Х - курицы, У - кролики.

Х+У=80

2Х+4У=200,

выражаем Х черех У: Х=80-У.

поставляем в уравнение: 2(80-У)+4У=200,  160-2У+4У=200, 160+2У=200, 2У=200-160, 2У=40, У=20.

Кроликов - 20,следовательно, куриц - 60. 

80 голов. 200 лап. Кролики - x. Куры - y.

• 4x + 2y = 200
• x + y = 80     ->     y = 80 - x

4x + 2*(80-x) = 200     ->     4x + 160 - 2x = 200     ->  2x = 40

• x = 20     ->     20 кроликов (80 лап)
• y = 60     ->    60 кур (120 лап)  

Задача 2. Найти уравнение с целыми коэффициентами, корнем которого является число √2 + √3

x = √2 +√3     ->     x - √2 = √3     ->     (x - √2)²  = 3     ->     x² - 2x√2 + 2 = 3     ->     x² - 1 = 2x√2    ->

(x² - 1)² = 8x²     ->    x⁴ - 10x² +1 = 0   

А я решал из общего вида уравнения: ax⁴ + bx³ + cx² + dx + e = 0

1. Посчитал минимальную степень многочлена при котором имеются решения: x=√2+√3, x²=5+2√6, x³= 11√2+9√3, x⁴= 49+ 20√6 =>4
2. Подставил значения в уравнение общего вида, сгруппировал: (49a + 5c+e) +√2(11b+d) + √3(9b+d)+2√6(10a+c)=0
3. Решил системы:

​                                   11b+d=0                                                                        49a + 5c + e = 0

                                     9b+d=0    => d=0, b=0.                                              10a + c=0                 => a=1, c= -10, e=1. 

     4. Подставив найденные значения получил  x4 - 10x2 +1 = 0   

Определил так, определил можно ли полностью избавится от иррациональности при целых коэфициентах. Это возможно, во-первых если количество чисел  с одинаковой иррациональной частью было не менее двух, во-вторых если есть такой коэфициент при котором от этой иррациональности (системы уравнений данные после группировки).

Задача о круге.

А будут ли опубликованы решения тестовых задач?

В любом случае, спасибо за труд!

Здесь два разных треугольника, но можно сместить и один.

1) Проводим произвольную хорду L

2) Строим перпендикуляр h, в точке пересечения прямой L и окружности

3) Проводим прямую S, она будет диаметром, т.к. опирается на прямой угол

4) Строим произвольный равнобедренный треугольник (основание диаметр)

5) Строим биссектрису  угла треугольника, она будет пересекать димаметр в середине.

рисуем два отрезка с концами на окружности. Находим середину каждого отрезка и проводим к ней нормаль. пересечение нормалей и есть центр окружности.

Можно поинтересоваться, что умеет делать ЧЕРТЕЖНЫЙ ТРЕУГОЛЬНИК? Откладывать прямой угол? И проводить прямую линию?

http://joxi.ru/l2ZeP3qu6n80mJ

1. Строим хорду AB, пересекающую окружность в точках A и B

2. Т.к. имеем чертежный треугольник, можем построить хорду BC, перпендикулярную AB. 

3. Строим еще две перпендикулярные прямые / хорды AD и CD

CD||AB и BC||AD т.к. BAD+BCD = 90+90=180

ABCD - прямоугольник, т.к все углы прямые. 

4. Нужно доказать что D лежит также на окружности. 

Строим точку O, которая является пересечением диагоналей AC и BD. 

треугольники BOC и AOD равны и равнобедренные, по трем сторонам или стороне и 2-м углам. 

Следовательно BO = OD = AO=OC = r 

Существует только одна точка, расстояние до которой от точек на окружности одинаковое - эта точка О - центр окружности

С помощью угольника откладываем хорду АB, и чертим треугольник ABC,
потом поворачивая и переворачивая угольник строим еще три треугольника ABC₁, ABC₂, ABC₃,
O₁, O₂ - точки пересечения соответствующих сторон
Отрезок O₁O₂ : 
    перпендикулярен хорде AB
    делит ее пополам (AH = BH)
(это легко доказать, что из признаков равенства треугольников, или с помощью геометрических преобразований плоскости)

Т.е. прямая O₁O₂- срединный перпендикуляр к хорде, т.е. проходит через центр (есть такая теорема)
Одну прямую, проходящую через центр получили

Делаем рядом с другой хордой то же самое (базовый треугольник PQR), получаем еще одну прямую, проходящую через центр

Их точка пересечения - искомый центр

а вот мое решение

А если просто вписать прямоугольный треугольник в окружность и центр будет лежать на середине гипотенузы?

Задача интересная...

sin X * cos X = sin 1 возводим в квадрат

sin^2(X) * (1-sin^2(X)) = sin^2(1)

Sin^4(X)-sin^2(X)+sin^2(1)=0

sin^2(X) = y

y^2-y+sin^2(1)=0

1/2<sin^2(1)<3/4

D = 1-4 sin^2(1) <0

корней нет

Графически намного интереснее получилось. Ldml - молодец!

вот мое решение

sinx*cosx=sin1

(1/2)*sin2x=sin1

sin2x=2*sin1

2*sin1>1

следовательно, уравнение не имеет решения

Докажите, что x²+y²+z²>12, если x+y+z=6             

Есть замечательное неравенство, Коши-Буняковского:  (a₁b₁+a₂b₂+...+a_nb_n)²<  (a₁²+ a₂²+...+a_n²)(b₁²+ b₂²+...+b_n²)   

Подставим доказываемое неравенство в формулу, и получаем: (x²+y²+z²)(1²+1²+1²)>(x*1+y*1+z*1)² 

Упрощаем: 3(x²+y²+z²)>(x+y+z)²

Подставляем данные 3(x²+y²+z²)>6²             =>     x²+y²+z² > 12 

Доказано.    

Обсуждение задач

Здравствуйте! Из того, что сумма делится на 7 и одно из слагаемых делится на 7 следует,что и второе слагаемое делится на 7. Слагаемое представляет произведение 36 и...,Произведение делится на 7, если хотя бы один из множителей делится на 7. 36 не делится.Вроде так. Возможно я и не права...

Согласен с Максимом 62к - 1 делится на 7 не из-за того, что 36 не делится, а потому, что формула верна при Т=1 и как вы доказали для к+1, ведь подставив вместо к число один получим, что формула равна для 2, подставив вместо к 2 получим, что формула равна для 3 и т.д. , т.е. для всех натуральных. 

Извините, что сюда пишу. Пожалуйста, посмотрите ответы на итоговый тест на вопросы 5, 6, 11, 18 по моему там нет правильных ответов.