Математический анализ. Лекция 8 | Осенний семестр 2020

1:09:00 Проверил в комментариях к предыдущей лекции, смотрите теорему о непрерывности обратной функции там.
1:12:30 Доказать существование предела lim f^−1(y)−f^−1(y0)/y−y0, при y→y0.
Заметим, что из-за непрерывности f^−1 и y→y0 следует x→x0.
lim f^−1(y)−f^−1(y0)/y−y0 = lim 1/ y−y0 / x−x0= 1 / lim f(x)−f(x0) / x−x0=1 / f'(x0) при x→x0 и f'(x0)≠0.
Используется свойство пределов lim 1/g(x)=1/lim g(x) при x→x0 и lim g(x)≠0,
здесь g(x)=f(x)−f(x0) / x−x0 и g(x) не обращается в ноль из-за инъективности f.