Математический анализ. Лекция 7 | Осенний семестр 2020

1:26:40 Если вспомнить эквивалентное определение секвенциальной компактности, то в прямую сторону просто доказывается. В компактном множестве из любой последовательности его точек можно выделить сходящуюся подпоследовательность. 1) Если множество K неограниченное, то существует бесконечная последовательность точек, где расстояние между двумя соседними членами больше какого-нибудь δ>0, и из неё не выделить сходящихся подпоследовательностей, так как ни одна из них не будет сходящейся в себе. 2) Тоже самое касается любой последовательности к конечной предельной точке, принадлежащей дополнению K, она будет сходящейся последовательностью Коши, но предела внутри K иметь не будет. В обратную сторону, рассмотрим любую систему открытого покрытия {V_α}, K⊂∪V_α, добавим к ней открытое множество V'=[a, b]\K, где [a, b] такой отрезок, который содержит K, K⊂[a,b], тогда система {V_α}∪{V'} есть открытое покрытие отрезка [a, b] из которого можно выделить конечное подпокрытие {V_α_n}, очевидно оно, при отсутствующем V', покрывает и компакт K, тем самым всё доказано.

3:20 Функция g(x)=√x при x≥0 в ℝ+={y≥0} непрерывна как обратная к биективной и непрерывной x=y^2 при y≥0. Теорема. Пусть функция, заданная на открытом множестве V, f(x): V↦ℝ взаимно однозначная на свой образ в некоторой замкнутой δ окрестности [x0−δ, x0+δ]=Vδ⊂V и непрерывная в точке y0=f(x0), тогда обратная функция f^−1(y) непрерывна в точке y0. Доказательство. Предположим нашлась такая последовательность {y_n}, y_n→y0, что некоторая подпоследовательность {x_n_k}, x_n_k=f^−1(y_n_k), lim x_n_k ≠ x0, при k→∞. Последнее означает ∃δ'>0, что δ≥|x_n_k−x0|≥δ'. У последовательности {x_n_k} существует сходящаяся подпоследовательность {x_n_k_m}, x_n_k_m→x1, m→∞. Из |x1−x0|≥δ'>0 следует f(x1)≠f(x0), так как функция f инъективна, по непрерывности lim y_n_k_m=lim f(x_n_k_m)=f(x1)≠y0=f(x0). Противоречие с сходимостью {y_n} к y0.
Эта теорема про одну точку, но можно получить непрерывность сразу для всех.
Теорема. Пусть функция, заданная на компакте K, f(x): K↦ℝ взаимно однозначная на свой образ и непрерывна на K, тогда обратная функция f^−1(y) тоже задана на компакте и непрерывна.
Доказательство. Если мы докажем, что множество f(V)=W, образ V, открыто для любого открытого V, то мы получим непрерывность по одному из критериев непрерывности, потому что для биекции множество W есть прообраз V при отображении f^−1(y). Докажем утверждение.
Утверждение. Непрерывный образ компактного множества компактен.
Доказательство. Рассмотрим любую систему открытого покрытия {W_α}, f(K)⊂∪W_α, тогда система {Vα}, Vα=f^−1(W_α) есть открытое покрытие K⊂∪Vα. Мы можем выделить конечное подпокрытие {Vα_k}, тогда соответствующее подпокрытие {W_α_k} будет покрытием множества f(K) и значит оно компактное.
Для любого открытого V рассмотрим множество V'=K\V, оно содержится в компакте и замкнуто, значит компактно, тогда компактно множество f(V'), а W=f(K)\f(V')=f(V) − открыто.
Утверждение. (Критерий непрерывности) Функция f(x): X↦Y заданная на множестве X⊂ℝ, Y⊂ℝ, непрерывна на нём тогда и только тогда, когда прообраз f^−1(V) любого открытого множества V⊂Y − открыт в X.
Доказательство. Рассмотрим произвольный x0∈f^−1(V), так как V открыто и f непрерывна, то ∃ε,δ>0, f(x0)=y0, Vδ=(x0−δ, x0+δ)⋂X, f(Vδ)⊂Wε=(y0−ε, y0+ε)⋂Y, следовательно x0∈Vδ⊂f^−1(Wε)⊂f^−1(V), то есть каждая точка входит в прообраз с некоторой δ−окрестностью и значит он открытое множество. Обратно, пусть прообраз открытого множества открыт, тогда f^−1(Wε) − открытое множество для ∀ε>0, точка x0∈f^−1(Wε) внутренняя и значит ∃δ>0, что Vδ⊂f^−1(Wε), функция непрерывна в x0.

Hyll On Holland is located at 91-95 Holland Road, District 10 of Singapore. The condo is freehold tenure, providing 319 units developed by Far East Consortium International Limited (FEC). hyll on holland

Hyll On Holland is located at 91-95 Holland Road, District 10 of Singapore. The condo is freehold tenure, providing 319 units developed by Far East Consortium International Limited (FEC). hyll on holland

Myra located in Potong Pasir, Meyappa Chettiar road in District 13.This freehold development have 85 residential units offers from 1 bedroom to 4 bedroom. myra

Myra located in Potong Pasir, Meyappa Chettiar road in District 13.This freehold development have 85 residential units offers from 1 bedroom to 4 bedroom. myra